Średnia geometryczna i harmoniczna

Definicja 1

Średnią geometryczną $n$ n liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ x_1,x_2,\ldots,x_n nazywamy liczbę daną wzorem:

\overline{x_g}=\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{ \frac{1}{n} }=\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}

(0)

Definicja 2

Średnią harmoniczną $n$ n liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ x_1,x_2,\ldots,x_n nazywamy liczbę daną wzorem:

\overline{x_h}= \frac{1}{ \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\ldots + \frac{1}{x_n} }

(0)

Definicja 3

Średnią kwadratową $n$ n liczb $x_1,x_2,\ldots,x_n$ x_1,x_2,\ldots,x_n nazywamy liczbę daną wzorem:

\overline{x_k}=\sqrt{ \frac{x^2_1+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n} }

(0)

Twierdzenie 1

Niech dane będzie $n$ n liczb dodatnich $x_1,x_2,\ldots,x_n$ x_1,x_2,\ldots,x_n. Wówczas:

\overline{x_k}\ge\overline{x}\ge \overline{x_g}\ge\overline{x_h}

(0)

przy czym równości zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2=\ldots =a_n$ a_1=a_2=\ldots =a_n.

Uwaga 1

Powyższe zależności między średnimi przydają się przy rozwiązywaniu zadań na dowodzenie.