Równaniem liniowym (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi x x x x y y y y
gdzie a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R} a , b , c ∈ R a,b,c\in\mathbb{R} a a a a b b b b 0 0 0 0 a , b , c a,b,c a , b , c a,b,c współczynnikami równania .
Ponieważ mamy do czynienia z dwiema niewiadomymi, rozwiązaniem rozważanego równania liniowego jest para liczb .
Zbiór wszystkich par ( x , y ) ∈ R 2 (x,y)\in\mathbb{R^2} ( x , y ) ∈ R 2 (x,y)\in\mathbb{R^2} x x x x y y y y wykresem tego równania.
Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.
Mówimy, że dane równanie opisuje prostą będącą jego wykresem.
Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x x x x y y y y nazywamy koniunkcję dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi postaci:
{ a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} { a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} (0) gdzie a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0 a 1 a_1 a 1 a_1 b 1 b_1 b 1 b_1 a 2 a_2 a 2 a_2 b 2 b_2 b 2 b_2 0 0 0 0
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb ( x , y ) ∈ R 2 (x,y)\in\mathbb{R}^2 ( x , y ) ∈ R 2 (x,y)\in\mathbb{R}^2
Rozwiązanie układu równań polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań lub stwierdzeniu, że zbiór ten jest pusty.
Niech dany będzie układ równań
{ a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} { a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} (0) gdzie a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0
W = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = a 1 b 2 − b 1 a 2 W x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ = c 1 b 2 − b 1 c 2 W y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ = a 1 c 2 − c 1 a 2 \begin{aligned}
W=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} &= a_1b_2-b_1a_2 \\
W_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}&=c_1b_2-b_1c_2\\
W_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}&=a_1c_2-c_1a_2
\end{aligned} W = a 1 a 2 b 1 b 2 W x = c 1 c 2 b 1 b 2 W y = a 1 a 2 c 1 c 2 = a 1 b 2 − b 1 a 2 = c 1 b 2 − b 1 c 2 = a 1 c 2 − c 1 a 2 \begin{aligned}
W=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} &= a_1b_2-b_1a_2 \\
W_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}&=c_1b_2-b_1c_2\\
W_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}&=a_1c_2-c_1a_2
\end{aligned} (0) nazywamy odpowiednio wyznacznikiem głównym tego równania, wyznacznikiem niewiadomej x x x x wyznacznikiem niewiadomej y y y y
Niech dany będzie układ równań liniowych
{ a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} { a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1\\
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases} (0) gdzie a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 1 2 + b 1 2 > 0 a_1^2+b_1^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0 a 2 2 + b 2 2 > 0 a_2^2+b_2^2>0
W = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ W x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ W y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ \begin{aligned}
W=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} \\
W_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}\\
W_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}
\end{aligned} W = a 1 a 2 b 1 b 2 W x = c 1 c 2 b 1 b 2 W y = a 1 a 2 c 1 c 2 \begin{aligned}
W=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} \\
W_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1 \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}\\
W_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}
\end{aligned} (0) Wówczas:
układ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy W ≠ 0 W\neq 0 W = 0 W\neq 0
( x , y ) = ( W x W , W y W ) (x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right) ( x , y ) = ( W W x , W W y ) (x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right) (0)
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy W = W x = W y = 0 W=W_x=W_y=0 W = W x = W y = 0 W=W_x=W_y=0
układ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy
W = 0 ∧ ( W x ≠ 0 ∨ W y ≠ 0 ) W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0) W = 0 ∧ ( W x = 0 ∨ W y = 0 ) W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0) (0)
