Układ równań linowych z dwiema niewiadomymi

Równaniem liniowym (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi $x$x i $y$y nazywamy równanie postaci:

gdzie $a,b,c\in\mathbb{R}$a,b,c\in\mathbb{R} oraz $a$a i $b$b nie są równocześnie równe $0$0. Liczby $a,b,c$a,b,c nazywamy współczynnikami równania.

Ponieważ mamy do czynienia z dwiema niewiadomymi, rozwiązaniem rozważanego równania liniowego jest para liczb.

Zbiór wszystkich par $(x,y)\in\mathbb{R^2}$(x,y)\in\mathbb{R^2} spełniających równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi $x$x i $y$y nazywamy wykresem tego równania.

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Mówimy, że dane równanie opisuje prostą będącą jego wykresem.

Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$x i $y$y, nazywamy koniunkcję dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi postaci:

gdzie $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} oraz $a_1^2+b_1^2>0$a_1^2+b_1^2>0 oraz $a_2^2+b_2^2>0$a_2^2+b_2^2>0, tj. $a_1$a_1 i $b_1$b_1 oraz $a_2$a_2 i $b_2$b_2 nie są jednocześnie równe $0$0.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb $(x,y)\in\mathbb{R}^2$(x,y)\in\mathbb{R}^2 która spełnia jednocześnie oba równania.

Niech dany będzie układ równań

gdzie $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R} oraz $a_1^2+b_1^2>0$a_1^2+b_1^2>0 oraz $a_2^2+b_2^2>0$a_2^2+b_2^2>0. Liczby

nazywamy odpowiednio wyznacznikiem głównym tego równania, wyznacznikiem niewiadomej $x$x oraz wyznacznikiem niewiadomej $y$y

Niech dany będzie układ równań liniowych

gdzie $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}, $a_1^2+b_1^2>0$a_1^2+b_1^2>0 i $a_2^2+b_2^2>0$a_2^2+b_2^2>0, oraz niech dane będą wyznaczniki tego układu równań:

Wówczas:

• układ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $W\neq 0$W\neq 0, a rozwiązanie to wyraża się wzorem:

  $$(x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right)$$

  (x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right)(0)

• układ ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $W=W_x=W_y=0$W=W_x=W_y=0

• układ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy

  $$W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0)$$

  W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0)(0)