Ułamki dziesiętne
Ułamek dziesiętny to szczególny rodzaj ułamka zwykłego, w którym mianownik jest potęgą liczby 10 (np. 10, 100, 1000). Zamiast kreski ułamkowej stosuje się przecinek dziesiętny (lub w notacji anglosaskiej – kropkę), który oddziela część całkowitą liczby od jej części ułamkowej.
Ułamkiem dziesiętnym nazywamy reprezentację liczby rzeczywistej x w postaci:
gdzie:
a_na_{n-1}\ldots a_1a_0 to część całkowita (gdzie a_i to cyfry od 1 do 9),
b_1b_2b_3\ldots to część ułamkowa (gdzie b_j to cyfry od 1 do 9),
przecinek (lub kropka) to tzw. przecinek dziesiętny oddzielający część całkowitą od ułamkowej.
\displaystyle \frac{1}{10}=0{,}1
\displaystyle \frac{17}{100} =0{,}17
\displaystyle \frac{54}{1000}=0{,}054
\displaystyle 3 \frac{5}{100}=3{,}05
Każdy ułamek dziesiętny można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, który następnie można uprościć, jeśli to możliwe.
\displaystyle 2{,}07= \frac{207}{100}
\displaystyle 0{,}25= \frac{25}{100}= \frac{1}{4}
Zwróć uwagę, że zamieniając ułamek dziesiętny na ułamek zwykły, w mianowniku ułamka zwykłego pojawia się tyle samo zer ile cyfr było po przecinku w ułamku dziesiętnym.
Każdy ułamek dziesiętny można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, który następnie można uprościć, jeśli to możliwe:
Odwrotna implikacja nie jest prawdziwa - istnieją bowiem ułamki zwykłe których nie da się zapisać w postaci ułamka dziesiętnego (rozszerzyć mianownik do dowolnej potęgi 10). Przykładami są: \displaystyle \frac{1}{3}, \frac{5}{7}, \frac{1}{11} .
W ułamku dziesiętnym kolejne cyfry po przecinku odpowiadają kolejnym częściom ułamkowym: pierwsza cyfra to część dziesiątych, druga – część setnych, trzecia – część tysięcznych, i tak dalej.
Ułamek dziesiętny możemy wyrazić w postaci sumy szeregu:
Ciąg zer znajdujących się na końcu ułamka dziesiętnego (po przecinku) nie zmienia wartości tego ułamka, tj. zachodzi równość:
Zauważ, że każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego: