Wariacja bez powtórzeń

$k-$k- elementową wariacją bez powtórzeń $n-$n-elementowego zbioru $A$A nazywamy dowolny $k-$k-wyrazowy ciąg ($k\le n$k\le n) utworzony z różnych elementów zbioru $A$A.

Zauważ, że to co odróżnia wariację bez powtórzeń od permutacji to fakt, że wariacja nie musi zawierać wszystkich elementów zbioru. Z tego też powodu:

• każda permutacja $n-$n-elementowego zbioru jest też jego $n-$n-elementową wariacją bez powtórzeń, ale nie każda $k-$k-elementowa wariacja zbioru jest jego permutacją (tylko gdy $k=n$k=n).

• Liczba wariacji zbioru $n-$n-elementowego $n>1$n>1 jest większa niż liczba jego permutacji.

Liczba $k-$k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n-$n-elementowego wyraża się wzorem ($k\le n$k\le n):

Każda $n-$n-elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru $n-$n-elementowego jest jego permutacją.

• $2-$2-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru $3-$3-elementowego: $\left\{a,b,c\right\}$\left\{a,b,c\right\}

  $$\begin{array}{ccc} ab & ba & ca\\ ac & bc &cb \end{array}$$

  \begin{array}{ccc} ab & ba & ca\\ ac & bc &cb \end{array}(0)
  $$V_3^2= \frac{3!}{\left(3-2\right)!}= \frac{6}{1!}=6$$

  V_3^2= \frac{3!}{\left(3-2\right)!}= \frac{6}{1!}=6 (0)

• $2-$2-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru $4-$4-elementowego: $\left\{a,b,c,d\right\}$\left\{a,b,c,d\right\}

  $$\begin{array}{cccc} ab & ba & ca & da \\ ac & bc & cb & db \\ ad & bd & cd & dc \end{array}$$

  \begin{array}{cccc} ab & ba & ca & da \\ ac & bc & cb & db \\ ad & bd & cd & dc \end{array}(0)
  $$V_4^2= \frac{4!}{\left(4-2\right)!}= \frac{24}{2}=12$$

  V_4^2= \frac{4!}{\left(4-2\right)!}= \frac{24}{2}=12(0)

• $3-$3-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru $4-$4-elementowego: $\left\{a,b,c,d\right\}$\left\{a,b,c,d\right\}

  $$\begin{array}{cccc} abc & bac & cab &dab\\ abd & bad & cad & dac\\ acb & bca & cba & dba \\ acd & bcd & cbd & dbc \\ adb & bda & cda & dca \\ adc & bdc & cdb & dcb \end{array}$$

  \begin{array}{cccc} abc & bac & cab &dab\\ abd & bad & cad & dac\\ acb & bca & cba & dba \\ acd & bcd & cbd & dbc \\ adb & bda & cda & dca \\ adc & bdc & cdb & dcb \end{array}(0)
  $$V_4^3= \frac{4!}{\left(4-3\right)!}= \frac{24}{1!}=24$$

  V_4^3= \frac{4!}{\left(4-3\right)!}= \frac{24}{1!}=24 (0)