Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to odległość tej liczby od $0$ 0 na osi liczbowej, a ponieważ odległość nie może być ujemna to i wartość bezwzględna jest nieujemna. Wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie (jest taka sama), natomiast wartość bezwzględna z liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna.

Formalnie możemy ją zdefiniować następująco:

Definicja 1

Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby $x\in\mathbb{R}$ x\in\mathbb{R} nazywamy liczbę $|a|$ |a| daną wzorem:

|x|=\begin{cases}x, &\text{ dla } x\ge 0 \\ -x, &\text{ dla } x < 0\end{cases}

(0)

Uwaga 1

Nieujemność wartości bezwzględnej

Wprost z definicji wartości bezwzględniej wynika, że dla dla dowolnego $a\in\mathbb{R}$ a\in\mathbb{R}, $|a|$ |a| jest zawsze liczbą nieujemną, tj. $|a|\ge 0$ |a|\ge 0. Możemy powiedzieć że “wartość bezwzględna usuwa minus z liczby ujemnej”.

Przykład 1

Przykład

Przykłady wartości bezwzględnych z wybranych wyrażeń:

$|5|=5$ |5|=5,
$|-13|=13$ |-13|=13,
$|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$ |\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}, ponieważ $\sqrt{3}-2<0$ \sqrt{3}-2<0,
$|-1-\sqrt{5}|=|-(1+\sqrt{5})|=1+\sqrt{5}$ |-1-\sqrt{5}|=|-(1+\sqrt{5})|=1+\sqrt{5}.

Twierdzenie 1

Własności wartości bezwzględnej

Dla dowolnych $a,b\in\mathbb{R}$ a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

Nieujemność
$|a|\ge 0$
|a|\ge 0(0)
Dodatnia określoność
$|a|=0 \iff a = 0$
|a|=0 \iff a = 0(0)
Równoważność kwadratów
$a^2=b^2 \iff |a|=|b|$
a^2=b^2 \iff |a|=|b|(0)
Równość wartości bezwzględnych
$|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)$
|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)(0)
Multiplikatywność
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
|a \cdot b| = |a| \cdot |b|(0)
Podaddytywność
$|a+b| \le |a| + |b|$
|a+b| \le |a| + |b|(0)
Symetryczność
$|-a| = |a|$
|-a| = |a|(0)
Nierówność trójkąta
$|a-b| \le |a-c| + |c-b|$
|a-b| \le |a-c| + |c-b|(0)

Dodatkowo, jeśli $b>0$ b>0 to:

\begin{align*} |a| \le b &\iff -b \le a \le b \\ |a| \ge b &\iff a\ge b \vee a \le -b \end{align*}

(0)

Zachodzi również:

\begin{aligned} \sqrt{a^2} &= |a|\\ |x|^2&=x^2\\ -|x|\le x &\le |x|\\ |a-b|\le& |a|+|b| \end{aligned}

(0)

Twierdzenie 2

Dodatkowe własności wartości bezwzględnej

Z Twierdzenia 1 wynikają następujące dodatkowe własności wartości bezwzględnej:

\begin{align*} |a-b| &= 0 \iff |a=b| \\ |a-b| &= |b-a| \\ |a-b| &\le |a-c| + |c - b| &\text{(nierówność trójkąta)}\\ \left|\frac{a}{b} \right| &= \frac{|a|}{|b|} &\text{(zachowanie dzielenia)} \\ \end{align*}

(0)

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Odległość liczby $a\in\mathbb{R}$ a\in\mathbb{R} od liczby $b\in\mathbb{R}$ b\in\mathbb{R}, $a\le b$ a\le b na osi liczbowej jest równa $b-a$ b-a. Wartość bezwzględna liczby $a\in\mathbb{R}$ a\in\mathbb{R} to nic innego niż właśnie odległość tej liczby o $0$ 0 na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna z różnicy dwóch liczb $a,b\in\mathbb{R}$ a,b\in\mathbb{R} odpowiada odległości pomiędzy nimi na osi liczbowej.

Twierdzenie 3

$15$ 15 i $-8$ -8:
$|15-(-8)|=|23|=23$
|15-(-8)|=|23|=23(0)
$3+\sqrt{7}$ 3+\sqrt{7} i $\sqrt{7}-4$ \sqrt{7}-4:
$\left|3+\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}-4\right)\right|=7$
\left|3+\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}-4\right)\right|=7(0)

Wartość bezwzględna