Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby $x\in\mathbb{R}$x\in\mathbb{R} nazywamy liczbę $|a|$|a| daną wzorem:

Wprost z definicji wartości bezwzględniej wynika, że dla dla dowolnego $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R}, $|a|$|a| jest zawsze liczbą nieujemną, tj. $|a|\ge 0$|a|\ge 0. Możemy powiedzieć że “wartość bezwzględna usuwa minus z liczby ujemnej”.

Przykłady wartości bezwzględnych z wybranych wyrażeń:

• $|5|=5$|5|=5,

• $|-13|=13$|-13|=13,

• $|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}$|\sqrt{3}-2|=-(\sqrt{3}-2)=2-\sqrt{3}, ponieważ $\sqrt{3}-2<0$\sqrt{3}-2<0,

• $|-1-\sqrt{5}|=|-(1+\sqrt{5})|=1+\sqrt{5}$|-1-\sqrt{5}|=|-(1+\sqrt{5})|=1+\sqrt{5}.

Dla dowolnych $a,b\in\mathbb{R}$a,b\in\mathbb{R} zachodzi:

• Nieujemność

  $$|a|\ge 0$$

  |a|\ge 0(0)

• Dodatnia określoność

  $$|a|=0 \iff a = 0$$

  |a|=0 \iff a = 0(0)

• Równoważność kwadratów

  $$a^2=b^2 \iff |a|=|b|$$

  a^2=b^2 \iff |a|=|b|(0)

• Równość wartości bezwzględnych

  $$|a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)$$

  |a|=|b| \iff (a=b \lor a = -b)(0)

• Multiplikatywność

  $$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$$

  |a \cdot b| = |a| \cdot |b|(0)

• Podaddytywność
  

  $$|a+b| \le |a| + |b|$$

  |a+b| \le |a| + |b|(0)

• Symetryczność

  $$|-a| = |a|$$

  |-a| = |a|(0)

• Nierówność trójkąta
  

  $$|a-b| \le |a-c| + |c-b|$$

  |a-b| \le |a-c| + |c-b|(0)

Dodatkowo, jeśli $b>0$b>0 to:

Zachodzi również:

Z Twierdzenia 1 wynikają następujące dodatkowe własności wartości bezwzględnej:

Wartość bezwzględna z $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R} jest równa odległości $a$a od $0$0 na osi liczbowej.

Odległość liczby $a\in\mathbb{R}$a\in\mathbb{R} od liczby $b\in\mathbb{R}$b\in\mathbb{R} na osi liczbowej jest równa $|a-b|$|a-b|.

Odległość między liczbami na osi liczbowej:

• $15$15 i $-8$-8:

  $$|15-(-8)|=|23|=23$$

  |15-(-8)|=|23|=23(0)

• $3+\sqrt{7}$3+\sqrt{7} i $\sqrt{7}-4$\sqrt{7}-4:

  $$\left|3+\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}-4\right)\right|=7$$

  \left|3+\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}-4\right)\right|=7(0)