Wartość największa i najmniejsza funkcji

Niech dana będzie funkcja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} oraz $x_0\in(a,b)$x_0\in(a,b). Mówimy, że funkcja $f$f przyjmuje w punkcie $x_0$x_0 minimum lokalne (odpowiednio: maksimum lokalne) równe $f(x_0)$f(x_0), jeżeli dla każdego $x$x z pewnego otoczenia $U(x_0)\subset (a,b)$U(x_0)\subset (a,b) zachodzi nierówność $f(x)\ge f(x_0)$f(x)\ge f(x_0) (odpowiednio: $f(x)\le f(x_0)$f(x)\le f(x_0).
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji $f$f.

Jeżeli nierówności słabe $\le$\le oraz $\ge$\ge zastąpimy nierównościami silnymi $<$< oraz $>$> (czyli w otoczeniu punktu $x_0$x_0 nie ma również punktów przyjmujących wartość $f(x_0)$f(x_0)), to mówimy o ekstremach lokalnych właściwych.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ma w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$x_0\in\mathbb{R} maksimum (odpowiednio: minimum) globalne, jeżeli dla dowolnego $x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}:

Jeżeli nierówności słabe $\le$\le oraz $\ge$\ge zastąpimy nierównościami silnymi $<$< oraz $>$>, to mówimy o ekstremach globalnych właściwych.

Nie każda funkcja posiada ekstrema!

Jeżeli funkcja $f$f jest ciągła w przedziale domkniętym $\left[a,b\right]$\left[a,b\right], to w pewnym punkcie $c$c tego przedziału funkcja ta przyjmuje wartość największą oraz w pewnym punkcie $d$d tego przedziału przyjmuje wartość najmniejszą:

Pamiętaj aby przy wyznaczaniu ekstremów nie uwzględniać otwartych krańców dziedziny!

Jeżeli funkcja $f$f określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$x_0 ma w tym punkcie pochodną oraz ekstremum lokalne, to:

Punkt $x_0\in(a,b)$x_0\in(a,b) nazywamy punktem krytycznym funkcji $f$f określonej na przedziale $\left(a,b\right)$\left(a,b\right) jeżeli $f'(x_0)=0$f'(x_0)=0 lub $f'(x_0)$f'(x_0) nie istnieje.

Niech funkcja $f$f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu $x_0$x_0, ciągła w tym punkcie oraz różniczkowalna w sąsiedztwie $S(x_0)$S(x_0). Wówczas:

• jeżeli $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S_-(x_0)$x\in S_-(x_0) oraz $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S_+(x_0)$x\in S_+(x_0) to funkcja $f$f ma w punkcie $x_0$x_0 maksimum lokalne właściwe.

• jeżeli $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S_-(x_0)$x\in S_-(x_0) oraz $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S_+(x_0)$x\in S_+(x_0) to funkcja $f$f ma w punkcie $x_0$x_0 minimum lokalne właściwe.

• jeżeli $f'(x)>0$f'(x)>0 dla $x\in S(x_0)$x\in S(x_0) albo $f'(x)<0$f'(x)<0 dla $x\in S(x_0)$x\in S(x_0) to funkcje nie ma w punkcie $x_0$x_0 ekstrema lokalnego.

To, że pochodna w punkcie wynosi $0$0, jest jednym z warunków (warunek konieczny), żeby w tym punkcie mogło być ekstremum (czyli maksimum lub minimum). Ale sam fakt, że pochodna jest równa 0, nie oznacza, że ekstremum tam na pewno jest.