Wielokąty

Wielokąt to figura geometryczna na płaszczyźnie, ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, składającą się z co najmniej trzech odcinków (zwanych bokami), które łączą się w punktach zwanych wierzchołkami, wraz z tą łamaną.

Wielokąt składa się zarówno z punktów na jego bokach, jak i z wszystkich punktów wewnętrznych, tj. ograniczonych tymi bokami.

Przekątną wielokąta nazywamy dowolny odcinek łączący dowolne dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki tego wielokąta (nie będący bokiem tego wielokąta).

Niech dany będzie wielokąt wypukły $W=A_1A_2A_3\ldots A_n$W=A_1A_2A_3\ldots A_n. Kątem wewnętrznym przy wierzchołku $A_i$A_i nazywamy kąt utworzony przez dwa sąsiednie boki wielokąta $A_{i-1}A_i$A_{i-1}A_i oraz $A_iA_{i+1}$A_iA_{i+1} zawierający dany wielokąt.

Niech dany będzie wielokąt wypukły $W=A_1A_2A_3\ldots A_n$W=A_1A_2A_3\ldots A_n. Kątem zewnętrznym przy wierzchołku $A_i$A_i nazywamy kąt przyległy do kąta wewnętrznego $\alpha_i$\alpha_i​, utworzony przez jeden bok wielokąta $A_{i-1}A_i$ A_{i-1}A_i lub $A_iA_{i+1}$A_iA_{i+1}​ oraz przedłużenie drugiego boku poza wierzchołek $A_i$A_i​.

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt w którym wszystkie boki są równe wszystkie kąty są jednakowej miary.

Wielokątem wypukłym nazywamy wielokąt w którym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy niż $180^\circ$180^\circ (odcinek łączący dowolne dwa punkty tego wielokąta jest w nim całkowicie zawarty).

Wielokątem wypukłym nazywamy wielokąt który ma przynajmniej jeden kąt wewnętrzny większy niż $180^\circ$180^\circ (przynajmniej jeden z odcinków łączących dwa dowolne punkty tego wielokąta nie jest w nim całkowicie zawarty).

W dowolnym wielokącie $W$W liczba jego wierzchołków jest równa liczbie boków i liczbie kątów. Dodatkowo, że przyjmując $W=A_1A_2A_3\ldots A_n$W=A_1A_2A_3\ldots A_n jest wielokątem o $n$n wierzchołkach $(n\ge3)$(n\ge3) oraz $n$n bokach, zachodzi:

• Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi:

  $$S=\left(n-2\right) \cdot 180^\circ$$

  S=\left(n-2\right) \cdot 180^\circ (0)

• Suma miar wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego, mierzonych w tym samym kierunku, zawsze wynosi $360^\circ$360^\circ .

• Liczba przekątnych wielokąta $n-$n-kątnego wynosi:

  $$\displaystyle d= \frac{n\left(n-3\right)}{2}$$

  \displaystyle d= \frac{n\left(n-3\right)}{2} (0)

• Jeżeli wielokąt jest foremny, to:

  • Miara każdego kąta wewnętrznego wynosi:

    $$\alpha= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ }{n}$$

    \alpha= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ }{n} (0)

  • Miara każdego kąta zewnętrznego wynosi:

    $$\beta= \frac{360^\circ }{n}$$

    \beta= \frac{360^\circ }{n} (0)

Liczba przekątnych $n-$n-kąta wypukłego wynosi:

W przypadku wielokątów wklęsłych, niektóre przekątne leżą poza wielokątem.

Okrąg opisany na wielokącie to okrąg na którym leżą wszystkie wierzchołki tego wielokąta (środek okręgu jest równo oddalony od wierzchołków wielokąta).

Sześciokąt foremny o boku długości $a$a składa się z $6$6 trójkątów równobocznym o boku długości $a$a.