Wielomiany

Wielomianem stopnia $n$n zmiennej rzeczywistej $x$x nazywamy funkcję $w:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$w:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} daną wzorem:

gdzie $a_n\neq 0$a_n\neq 0 oraz $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+}.
Jednomiany $a_kx^k$a_kx^k nazywamy wyrazami wielomianu, natomiast same liczby $a_k$a_k nazywamy współczynnikami wielomianu, przy czym $a_0$a_0 to tzw. wyraz wolny. Stopień wielomianu (najwyższą potęgę zmiennej $x$x) oznaczamy symbolem $\text{st}(w)$\text{st}(w) lub $\text{deg}(w)$\text{deg}(w) (od angielskiego wyrażenia degree).

Wielomianem stopnia $0$0 nazywamy dowolną stałą różną od $0$0, a wielomianem zerowym - liczbę $0$0.

Wielomian składający się z dwóch niezerowych jednomianów o różnych stopniach nazywamy dwumianem, a z trzech - trójmianem.

• Funkcja stała jest wielomianem stopnia zerowego:

  $$w(x)=6$$

  w(x)=6(0)
  $$\text{st}(w)=0,x_0=6$$

  \text{st}(w)=0,x_0=6(0)

• Funkcja liniowa jest wielomianem stopnia pierwszego (dwumianem liniowym):

  $$w(x)=2x+4$$

  w(x)=2x+4(0)
  $$\text{st}(w)=1,x_1=2,x_0=6$$

  \text{st}(w)=1,x_1=2,x_0=6(0)

• Funkcja kwadratowa jest wielomianem stopnia drugiego (trójmianem kwadratowym):

  $$w(x)=2x^2-5x+10$$

  w(x)=2x^2-5x+10(0)
  $$\text{st}(w)=2,x_2=2,x_1=-5,x_0=10$$

  \text{st}(w)=2,x_2=2,x_1=-5,x_0=10(0)

• Wielomiany wyższych stopni:

  $$\begin{aligned} f(x)&=-x^6-5x^4+x+10 \end{aligned}$$

  \begin{aligned} f(x)&=-x^6-5x^4+x+10 \end{aligned}(0)
  $$\begin{aligned} \text{st}(w)&=6\\x_6&=-1\\x_5&=0\\x_4&=-5\\x_3&=x_2=0\\x_1&=-5\\x_0&=10 \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \text{st}(w)&=6\\x_6&=-1\\x_5&=0\\x_4&=-5\\x_3&=x_2=0\\x_1&=-5\\x_0&=10 \end{aligned}(0)

Zauważ, że $w(0)$w(0) jest równe wyrazowi wolnemu wielomianu, natomiast $w(1)$w(1) to suma współczynników tego wielomianu.

Niech dane będą niezerowe wielomiany $u,v$u,v. Wówczas:

• Jeżeli $u,v$u,v oraz $u+v$u+v są niezerowe, to stopień sumy wielomianów jest nie większy niż maksimum ze stopni wielomianów $u$u i $v$v:

  $$\text{st}(u+v)\le \max\{\text{st}(u), \text{st}(v)\}$$

  \text{st}(u+v)\le \max\{\text{st}(u), \text{st}(v)\}(0)

• Stopień iloczynu wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów:

  $$\text{st}(w\cdot v)=\text{st}(w)+\text{st}(v)$$

  \text{st}(w\cdot v)=\text{st}(w)+\text{st}(v)(0)

Mówimy, że dwa wielomiany są równe, jeżeli są wielomianami zerowymi albo mają ten sam stopień, równe współczynniki występujące przy tych samych potęgach oraz te same wyrazy wolne.

Aby sprawdzić czy wielomiany są równe, wystarczy odjąć jeden od drugiego i sprawdzić czy różnica jest równa $0$0.

Jeżeli we wzorze funkcji zmienna nie występuje tylko w podstawie potęgi, to nie jest to funkcja wielomianowa! Np.

nie jest wielomianem!