Własności potęgowania

Twierdzenie 1

Dla dowolnych $x,y\in\mathbb{R}$ x,y\in\mathbb{R} oraz $a,b>0$ a,b>0 zachodzi:

\begin{align*} a^x \cdot a^y&= a^{x+y} \\ \frac{a^x}{a^y} &=a^{x-y} \\ \left(a^x\right)^y&=a^{x\cdot y} \\ a^x \cdot b^x &= (a\cdot b)^x\\ \frac{a^x}{b^x} &= \left(\frac{a}{b}\right)^x\\ \end{align*}

(0)

Przykład 1

Korzystając z własności potęgowania, możemy policzyć:

$3^{-2}\cdot3^5=3^{-2+5}=3^3=27$ 3^{-2}\cdot3^5=3^{-2+5}=3^3=27,
$\displaystyle\frac{2^2}{2^{-4}}=2^{2-(-4)}=2^6=64$ \displaystyle\frac{2^2}{2^{-4}}=2^{2-(-4)}=2^6=64,
$\displaystyle\left(2^\frac{1}{3}\right)^6=2^{\frac{1}{3}\cdot 6}=2^2=4$ \displaystyle\left(2^\frac{1}{3}\right)^6=2^{\frac{1}{3}\cdot 6}=2^2=4,
$\displaystyle\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2}=(-2)^2=4$ \displaystyle\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{-2}=(-2)^2=4,
$\displaystyle\frac{15^4}{5^4}=\left(\frac{15}{5}\right)^{4}=3^4=81$ \displaystyle\frac{15^4}{5^4}=\left(\frac{15}{5}\right)^{4}=3^4=81.