logo

Wykres funkcji

Definicja 1

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów (x,f(x))(x,f(x)) na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdzie xx należy do dziedziny funkcji, a f(x)f(x) jest wartością funkcji dla tego argumentu.

Uwaga 1

Nie każdy zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji! Zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta równoległa do osi OYOYma z tym zbiorem co najwyżej jeden punkt wspólny.

Uwaga 2

Wszystkie punkty leżące na osi OXOX mają drugą współrzędna równą 00, zatem wykres funkcji ff ma z tą osią punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje argument x0x_0 dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Punkt przecięcia ma współrzędne (x0,0)(x_0,0). Funkcja może mieć dowolną liczbę punktów wspólnych z osią OXOX.

Analogicznie, ponieważ wszystkie punkty leżące na osi OYOY mają pierwszą współrzędna równą 00, to wykres funkcji ff ma z tą osią punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje argument 00 należy do dziedziny tej funkcji. Punkt przecięcia ma współrzędne (0,f(0))(0,f(0)). Funkcja może mieć maksymalnie jeden punkt wspólny z osią OYOY.

Kluczową umiejętnością związaną z wykresami funkcji jest odczytywanie z nich własności funkcji oraz odwrotnie, naszkicowanie wykresu funkcji o podanych własnościach. Pytania które nasuwają się przy pracy z wykresami funkcji to:

  • Jaka jest dziedzina funkcji?

  • Jaki jest zbiór wartości funkcji?

  • Jakie są miejsca zerowe funkcji (i czy w ogóle istnieją)

  • Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne?

  • W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca/malejąca/stała?

  • Czy funkcja jest różnowartościowa?

  • Czy funkcja jest parzysta/nieparzysta?

  • Jakie są ekstrema lokalne i globalne funkcji (i czy w ogóle istnieją)?

  • Czy wykres funkcji ma asymptoty?

Asymptoty wykresu funkcji

Definicja 2

Niech dana będzie funkcja ff określona w pewnym lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) sąsiedztwie punktu x0x_0. Prostą x=x0x=x_0 nazywamy asymptotą pionową lewostronną (odpowiednio: prawostronną) wykresu funkcji ff jeżeli

lim⁡x→x0−f(x)=±∞\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty
(0)
(odpowiednio: lim⁡x→x0+f(x)=±∞)\left(\text{odpowiednio: }\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty\right)
(0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą pionowa lewostronną i prawostronną nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji ff.

Definicja 3

Niech dana będzie funkcja ff oraz prosta o równaniu y=b∈Ry=b\in\mathbb{R}. Wówczas:

  • mówimy że ta prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji ff jeżeli

    lim⁡x→+∞f(x)=c\lim_{x\to+\infty}f(x)=c
    (0)

  • mówimy, że ta prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji ff jeżeli

    lim⁡x→−∞f(x)=c\lim_{x\to-\infty}f(x)=c
    (0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą prawostronną i lewostronną nazywamy asymptotą poziomą obustronną.

Definicja 4

Niech dana będzie funkcja ff określona na przedziale (r,+∞)\left(r,+\infty\right) (odpowiednio: (−∞,r)\left(-\infty,r\right). Prosta y=ax+by=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio: asymptotą ukośną lewostronną) wykresu funkcji ff, jeżeli

lim⁡x→+∞[f(x)−(ax+b)]=0\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(ax+b\right)\right]=0
(0)
(odpowiednio: lim⁡x→−∞[f(x)−(ax+b)]=0)(\text{odpowiednio: }\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(ax+b\right)\right]=0)
(0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą prawostronną i lewostronną nazywamy asymptotą ukośną obustronną.

Twierdzenie 1

Prosta y=ax+by=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio: lewostronną) wykresu funkcji ff wtedy i tylko wtedy, gdy

lim⁡x→+∞f(x)x=a∧lim⁡x→+∞[f(x)−ax]=b\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} =a \land \lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-ax\right]=b
(0)

(odpowiednio: lim⁡x→−∞f(x)x=a∧lim⁡x→−∞[f(x)−ax]=b)\left(\text{odpowiednio: }\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x} =a \land \lim_{x\to -\infty}\left[f(x)-ax\right]=b\right)
(0)

Przykład 1

  • Okrąg

  • prosta x=cx=c

  • dwie proste położone nad sobą

Aby narysować wykres funkcji należy wyznaczyć kilka jej punktów w układzie współrzędnych i je połączyć. Ilość wymaganych punktów zależy od rodzaju funkcji i jej skomplikowania. Należy jednak pamiętać że wykresy funkcji najczęściej rysujemy w sposób przybliżony.

Definicja
Wykres funkcji

Komentarze (0)

Sortuj