MathWizards

Definicja 1

Wykres funkcji

Wykresem funkcji $f:X\rightarrow Y$ f:X\rightarrow Y w układzie współrzędnych nazywamy zbiór wszystkich punktów $(x,y)$ (x,y), takich, że $x\in X$ x\in X oraz $y=f(x)$ y=f(x).

Uwaga 1

Nie każdy zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji! Zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta równoległa do osi $OY$ OYma z tym zbiorem co najwyżej jeden punkt wspólny.

Uwaga 2

Uwaga

Wszystkie punkty leżące na osi $OX$ OX mają drugą współrzędna równą $0$ 0, zatem wykres funkcji $f$ f ma z tą osią punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje argument $x_0$ x_0 dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Punkt przecięcia ma współrzędne $(x_0,0)$ (x_0,0). Funkcja może mieć dowolną liczbę punktów wspólnych z osią $OX$ OX.

Analogicznie, ponieważ wszystkie punkty leżące na osi $OY$ OY mają pierwszą współrzędna równą $0$ 0, to wykres funkcji $f$ f ma z tą osią punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje argument $0$ 0 należy do dziedziny tej funkcji. Punkt przecięcia ma współrzędne $(0,f(0))$ (0,f(0)). Funkcja może mieć maksymalnie jeden punkt wspólny z osią $OY$ OY.

Kluczową umiejętnością związaną z wykresami funkcji jest odczytywanie z nich własności funkcji oraz odwrotnie, naszkicowanie wykresu funkcji o podanych własnościach. Pytania które nasuwają się przy pracy z wykresami funkcji to:

Jaka jest dziedzina funkcji?
Jaki jest zbiór wartości funkcji?
Jakie są miejsca zerowe funkcji (i czy w ogóle istnieją)
Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne?
W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca/malejąca/stała?
Czy funkcja jest różnowartościowa?
Czy funkcja jest parzysta/nieparzysta?
Jakie są ekstrema lokalne i globalne funkcji (i czy w ogóle istnieją)?
Czy wykres funkcji ma asymptoty?

Asymptoty wykresu funkcji

Definicja 2

Asymptota pionowa

Niech dana będzie funkcja $f$ f określona w pewnym lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) sąsiedztwie punktu $x_0$ x_0. Prostą $x=x_0$ x=x_0 nazywamy asymptotą pionową lewostronną (odpowiednio: prawostronną) wykresu funkcji $f$ f jeżeli

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty

(0)

\left(\text{odpowiednio: }\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty\right)

(0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą pionowa lewostronną i prawostronną nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji $f$ f.

Definicja 3

Asymptota pozioma

Niech dana będzie funkcja $f$ f oraz prosta o równaniu $y=b\in\mathbb{R}$ y=b\in\mathbb{R}. Wówczas:

mówimy że ta prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji $f$ f jeżeli
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=c$
\lim_{x\to+\infty}f(x)=c(0)
mówimy, że ta prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji $f$ f jeżeli
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=c$
\lim_{x\to-\infty}f(x)=c(0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą prawostronną i lewostronną nazywamy asymptotą poziomą obustronną.

Definicja 4

Asymptota ukośna

Niech dana będzie funkcja $f$ f określona na przedziale $\left(r,+\infty\right)$ \left(r,+\infty\right) (odpowiednio: $\left(-\infty,r\right)$ \left(-\infty,r\right). Prosta $y=ax+b$ y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio: asymptotą ukośną lewostronną) wykresu funkcji $f$ f, jeżeli

\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(ax+b\right)\right]=0

(0)

(\text{odpowiednio: }\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(ax+b\right)\right]=0)

(0)

Prostą która jest jednocześnie asymptotą prawostronną i lewostronną nazywamy asymptotą ukośną obustronną.

Twierdzenie 1

O asymptocie ukośnej

Prosta $y=ax+b$ y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio: lewostronną) wykresu funkcji $f$ f wtedy i tylko wtedy, gdy

\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} =a \land \lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-ax\right]=b

(0)

\left(\text{odpowiednio: }\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x} =a \land \lim_{x\to -\infty}\left[f(x)-ax\right]=b\right)

(0)

Przykład 1

Wykresy które nie są wykresami funkcji

Okrąg
prosta $x=c$ x=c
dwie proste położone nad sobą

Aby narysować wykres funkcji należy wyznaczyć kilka jej punktów w układzie współrzędnych i je połączyć. Ilość wymaganych punktów zależy od rodzaju funkcji i jej skomplikowania. Należy jednak pamiętać że wykresy funkcji najczęściej rysujemy w sposób przybliżony.