Wykres funkcji kwadratowej (parabola)

Parabola to zbiór punktów płaszczyzny równo odległych od prostej zwanej kierownicą paraboli i punktu zwanego ogniskiem paraboli.

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(p,q)$W=(p,q), gdzie

Wyróżnikiem (“deltą”) trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$ax^2+bx+c nazywamy liczbę:

Obrazem wykresu funkcji kwadratowej $y=ax^2$y=ax^2, $a\neq 0$a\neq 0 w przesunięciu równoległym o wektor $[p,q]$[p,q] jest wykres funkcji kwadratowej $y=a(x-p)^2+q$y=a(x-p)^2+q.

Postacią kanoniczną funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c nazywamy wzór postaci:

gdzie $p,q\in\mathbb{R}$p,q\in\mathbb{R} to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji kwadratowej.

Funkcję kwadratową w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c, gdzie $a\neq 0$a\neq 0 można przekształcić do postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$f(x)=a(x-p)^2+q,

gdzie:

Każdą postać ogólną funkcji kwadratowej można przekształcić do postaci kanonicznej, i na odwrót, każdą postać kanoniczną można przekształcić do postaci ogólnej.

Osią symetrii paraboli będąca wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c o wierzchołku w punkcie $W=(p,q)$W=(p,q) jest prosta $x=p$x=p. Dodatkowo, jeżeli dla dowolnych $x_1,x_2$x_1,x_2 zachodzi:

to $p$p jest równe średniej arytmetycznej tych punktów, tj.:

Również, dla dowolnego $k\in\mathbb{R}$k\in\mathbb{R} zachodzi:

tj. funkcja $f$f dla argumentów równo oddalonych od współrzędnej $p$p przyjmuje te same wartości.

Niech dana będzie funkcja kwadratowa $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c. Wówczas jej wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(p,q)$W=(p,q) gdzie

oraz:

• Jeżeli $a>0$a>0, to:

  • ramiona paraboli są skierowane do góry

  • funkcja osiąga minimum (wartość najmniejszą) w punkcie dla $x=p$x=p i wynosi ona $y=q$y=q.

  • funkcja nie przyjmuje wartości największej w $\mathbb{R}$\mathbb{R}

  • Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, p]$(-\infty, p].

  • Funkcja jest rosnąca w przedziale $[p,\infty)$[p,\infty).

  • Zbiorem wartości funkcji jest przedział $[q,\infty)$[q,\infty)

• Jeżeli $a<0$a<0 to:

  • ramiona paraboli są kierowane w dół

  • funkcja osiąga maximum (wartość największą) w punkcie $x=p$x=p i wynosi ona $y=q$y=q

  • funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej w $\mathbb{R}$\mathbb{R}.

  • funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, p]$(-\infty, p]

  • funkcja jest malejąca w przedziale $[p,\infty)$[p,\infty)

  • zbiorem wartości funkcji jest przedział $(-\infty, q]$(-\infty, q].

• Oś symetrii paraboli jest dana równaniem $x=p$x=p.

• Punkt przecięcia paraboli z osią $OY$OY ma współrzędne $(0,c)$(0,c).

Prosta i parabola na płaszczyźnie mogą mieć jeden punkt wspólny, dwa punkty wspólne lub nie mieć ich wcale. Prostą, która przecina parabolę w dwóch punktach nazywamy sieczną paraboli, natomiast prostą która przecina parabolę w dokładnie jednym punkcie i która nie jest równoległa do osi $OY$OY, nazywamy styczną do paraboli.

Wzór funkcji kwadratowej na podstawie wykresu wyznaczymy odczytując współrzędne wierzchołka paraboli i wyznaczając współczynnik $a$a w postaci kanonicznej podstawiając dowolny inny punkt wykresu.

Postać iloczynową wyznaczymy znajdując punkty zerowe i wyznaczając $a$a podobnie jak wyżej.

Postać ogólną wyznaczamy korzystając z faktu że $c$c jest współrzędną $y$y-ową punktu przecięcia paraboli z osią $OY$OY. Współczynniki $a$a i $b$b odnajdujemy układając układ równań z dwóch innych punktów na wykresie.

Wreszcie, możemy ułożyć układ $3$3 równań z $3$3 niewiadomymi wybierając $3$3 różne punkty na wykresie.

Wykres funkcji kwadratowej możemy narysować licząc jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli. Jeżeli miejsca zerowe nie istnieją, to wystarczy policzyć wartość funkcji w dowolnych dwóch, najlepiej równoodległych punktach od współrzędnej $x-$x-owej wierzchołka paraboli i poprowadzić przez nie wykres funkcji. Może to być punkt przecięcia paraboli z osią $OY$OY.