logo

Wzory Viete'a

Niech dana będzie funkcja kwadratowa

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
(0)

taka, że Δ≥0\Delta \ge 0. Wiemy, że

x1=−b−Δ2ax2=−b+Δ2a\begin{aligned} x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \end{aligned}
(0)

Dodając i mnożąc przez siebie miejsca zerowe funkcji kwadratowej otrzymujemy odpowiednio:

x1+x2=−b−Δ2a+−b+Δ2a=−b−Δ−b+Δ2a=−ba\displaystyle \begin{aligned} x_1+x_2&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &= \frac{-b-\sqrt{\Delta} -b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &=- \frac{b}{a} \end{aligned}
(0)

oraz

x1⋅x2=−b−Δ2a⋅−b+Δ2a=(−b)2−(Δ)24a=b2−(b2−4ac)4a=ca\begin{aligned} x_1 \cdot x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &= \frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a}\\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a}\\ &= \frac{c}{a} \end{aligned}
(0)

Właśnie wyprowadziliśmy tzw. Wzory Viete’a.

Twierdzenie 1

Niech dana będzie funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Jeżeli Δ>0\Delta> 0, to zachodzą następujące zależności pomiędzy miejscami zerowymi x1,x2x_1,x_2 funkcji ff:

x1+x2=−bax1⋅x2=ca\begin{align*} x_1+x_2&=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=\frac{c}{a} \end{align*}
(0)

Jeżeli Δ=0\Delta=0 i x0x_0 jest jedynym miejscem zerowym funkcji ff, to powyższe zależności upraszają się do:

2x0=−bax2=ca\begin{aligned} 2x_0&=- \frac{b}{a} \\ x^2&= \frac{c}{a} \end{aligned}
(0)

Uwaga 1

Z wzorów Viete’a często korzystamy przy rozwiązywaniu równań i nierówności kwadratowych z parametrem.

Twierdzenie
Wzory Viete'a

Komentarze (0)

Sortuj