Niech dana będzie funkcja kwadratowa
f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c (0) taka, że Δ ≥ 0 \Delta \ge 0 Δ ≥ 0 \Delta \ge 0
x 1 = − b − Δ 2 a x 2 = − b + Δ 2 a \begin{aligned}
x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\end{aligned} x 1 x 2 = 2 a − b − Δ = 2 a − b + Δ \begin{aligned}
x_1&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
x_2&= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\end{aligned} (0) Dodając i mnożąc przez siebie miejsca zerowe funkcji kwadratowej otrzymujemy odpowiednio:
x 1 + x 2 = − b − Δ 2 a + − b + Δ 2 a = − b − Δ − b + Δ 2 a = − b a \displaystyle \begin{aligned}
x_1+x_2&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&= \frac{-b-\sqrt{\Delta} -b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&=- \frac{b}{a}
\end{aligned} x 1 + x 2 = 2 a − b − Δ + 2 a − b + Δ = 2 a − b − Δ − b + Δ = − a b \displaystyle \begin{aligned}
x_1+x_2&= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&= \frac{-b-\sqrt{\Delta} -b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&=- \frac{b}{a}
\end{aligned} (0) oraz
x 1 ⋅ x 2 = − b − Δ 2 a ⋅ − b + Δ 2 a = ( − b ) 2 − ( Δ ) 2 4 a = b 2 − ( b 2 − 4 a c ) 4 a = c a \begin{aligned}
x_1 \cdot x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&= \frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a}\\
&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a}\\
&= \frac{c}{a}
\end{aligned} x 1 ⋅ x 2 = 2 a − b − Δ ⋅ 2 a − b + Δ = 4 a ( − b ) 2 − ( Δ ) 2 = 4 a b 2 − ( b 2 − 4 a c ) = a c \begin{aligned}
x_1 \cdot x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&= \frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{4a}\\
&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a}\\
&= \frac{c}{a}
\end{aligned} (0) Właśnie wyprowadziliśmy tzw. Wzory Viete’a.
Niech dana będzie funkcja kwadratowa f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c Δ > 0 \Delta>
0 Δ > 0 \Delta>
0 x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2 x_1,x_2 f f f f
x 1 + x 2 = − b a x 1 ⋅ x 2 = c a \begin{align*}
x_1+x_2&=-\frac{b}{a}\\
x_1\cdot x_2&=\frac{c}{a}
\end{align*} x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 = − a b = a c \begin{align*}
x_1+x_2&=-\frac{b}{a}\\
x_1\cdot x_2&=\frac{c}{a}
\end{align*} (0) Jeżeli Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0 \Delta=0 x 0 x_0 x 0 x_0 f f f f
2 x 0 = − b a x 2 = c a \begin{aligned}
2x_0&=- \frac{b}{a} \\
x^2&= \frac{c}{a}
\end{aligned} 2 x 0 x 2 = − a b = a c \begin{aligned}
2x_0&=- \frac{b}{a} \\
x^2&= \frac{c}{a}
\end{aligned} (0)
Z wzorów Viete’a często korzystamy przy rozwiązywaniu równań i nierówności kwadratowych z parametrem.
