Zbiory liczbowe

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. Zbiór wszystkich rozpatrywanych elementów nazywamy przestrzenią oznaczaną literą $U$U.
Zbiory liczbowe oznaczamy wielkimi literami $A,B,C,\ldots$A,B,C,\ldots , a ich elementy zapisujemy w nawiasach klamrowych małymi literami $a,b,c\ldots$a,b,c\ldots i oddzielamy je przecinkami:

Alternatywnie, zbiór możemy również opisać za pomocą warunku który muszą spełniać jego elementy:

Fakt, że element $a$a należy do zbioru $A$A oznaczamy symbolicznie $a\in A$a\in A i czytamy “$a$a należy do zbioru $A$A”. Jeżeli element $a$a nie należy do zbioru $A$A, to piszemy $a\notin A$a\notin A i czytamy “$a$a nie należy do zbioru $A$A”.

Przykłady zbiorów liczbowych:

• Zbiór liczb naturalnych:

• Zbiór składający się z liczb $2,3,5$2,3,5 oraz $7$7:

  $$A=\{2,3,5,7\}\\$$

  A=\{2,3,5,7\}\\(0)

• Zbiór kolejnych potęg o wykładniku naturalnym liczby $3$3:

  $$B=\{3^n:n\in\mathbb{N}\}=\{1, 3, 9,27,81,\ldots\}$$

  B=\{3^n:n\in\mathbb{N}\}=\{1, 3, 9,27,81,\ldots\}(0)

Czasami, zamiast wypisywać wszystkie elementy zbioru, można posłużyć się skróconym zapisem, tj. zbiór postaci

możemy zapisać krócej:

W powyższym zapisie wypisaliśmy trzy początkowe elementy pozwalające określić regułę powstawania kolejnych liczb w tym zbiorze oraz użyliśmy symbolu $\ldots$\ldots oznaczającego “i tak dalej” aż do liczby $30$30.

Zbiorem skończonym nazywamy zbiór który ma skończoną liczbę elementów. Zbiór do którego należy nieskończenie wiele elementów nazywamy zbiorem nieskończonym.

Mocą zbioru skończonego $A$A nazywamy liczbę elementów tego zbioru i oznaczamy $|A|$|A|.

Mówimy, że zbiory $A$A i $B$B są równoliczne, gdy mają tyle samo elementów, tj. $|A|=|B|$|A|=|B|.

Zbiorem pustym to zbiór do którego nie należy żaden element. Zbiór pusty jest szczególnym przypadkiem zbioru skończonego i oznaczamy go symbolem $\emptyset$\emptyset.

Zbiory $A$A i $B$B są sobie równe, jeżeli mają dokładnie te same elementy, tj. każdy element zbioru $A$A należy do zbioru $B$B i odwrotnie, każdy element zbioru $B$B należy do zbioru $A$A. Równość zbiorów zapisujemy

a zapis $A\neq B$A\neq B oznacza że zbiory $A$A i $B$B nie są równe.

Zbiór $A$A jest podzbiorem zbioru $B$B, jeżeli każdy element zbioru $A$A jest elementem zbioru $B$B. Mówimy, że zbiór $A$A zawiera się w zbiorze $B$B i zapisujemy to:

Przeciwnie, zapis $A\not\subset B$A\not\subset B oznacza, że zbiór $A$A nie jest podzbiorem zbioru $B$B.

Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru oraz każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem, tj. $\emptyset \subset A,A\subset A$\emptyset \subset A,A\subset A. Dodatkowo, każdy zbiór zawiera się w przestrzeni $A\subset U$A\subset U.

• Dla zbiorów $A=\{1,4,3,6\}$A=\{1,4,3,6\} oraz $B=\{6,3,4,1\}$B=\{6,3,4,1\} zachodzi:

  $$A=B,$$

  A=B,(0)

  ponieważ oba zbiory składają się z tych samych elementów: $1,3,4,6$1,3,4,6.

• Dla zbiorów $A=\{1,2,3,4,5\}$A=\{1,2,3,4,5\} oraz $B=\{n: n\in\mathbb{N}\land n>0\land n\le6\}$B=\{n: n\in\mathbb{N}\land n>0\land n\le6\} zachodzi:

  $$A\subset B$$

  A\subset B(0)

  ponieważ $B=\{1,2,3,4,5,6\}$B=\{1,2,3,4,5,6\} a zatem każdy element zbioru $A$A należy również do zbioru $B$B. Zbiory nie są równe ponieważ zbiór $B$B posiada dodatkowo element $6$6 który nie należy do zbioru $A$A .

• Zbiór $A=\{x:x>0\land x<0\}$A=\{x:x>0\land x<0\} jest zbiorem pustym:

  $$A=\emptyset$$

  A=\emptyset(0)

  ponieważ nie istnieje liczba która byłaby jednocześnie mniejsza oraz większa od $0$0.

Zauważ, że należenie do zbioru to relacja między elementem a zbiorem, a zawieranie się to relacja między dwoma zbiorami.

W zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$\mathbb{R} wyróżniamy następujące podzbiory:

• Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$\mathbb{N} i podzbiór liczb naturalnych dodatnich:

  $$\begin{aligned} \mathbb{N_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{N}&=\mathbb{N_+}\cup \{0\}=\{0,1,2,3,4,\ldots\} \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \mathbb{N_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{N}&=\mathbb{N_+}\cup \{0\}=\{0,1,2,3,4,\ldots\} \end{aligned}(0)

• Zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}$\mathbb{Z}, w tym podzbiór liczb całkowitych ujemnych i dodatnich:

  $$\begin{aligned} \mathbb{Z_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{Z_{-}}&=\{\ldots,-4,-3,-2,-1\}\\ \mathbb{Z}&=\mathbb{Z_-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z_+} \end{aligned}$$

  \begin{aligned} \mathbb{Z_+}&=\{1,2,3,4,\ldots\}\\ \mathbb{Z_{-}}&=\{\ldots,-4,-3,-2,-1\}\\ \mathbb{Z}&=\mathbb{Z_-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z_+} \end{aligned}(0)

• Zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$\mathbb{Q}:

  $$\mathbb{Q}=\left\{x:x=\frac{p}{q}, p,q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}$$

  \mathbb{Q}=\left\{x:x=\frac{p}{q}, p,q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}(0)

• Zbiór liczb niewymiernych $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}

Niech $X$X będzie dowolnym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub operacją wewnętrzną) w zbiorze $X$X nazywamy funkcję $\circ:X\times X\to X$\circ:X\times X\to X, która każdej parze elementów $(a,b)\in X\times X$(a,b)\in X\times X przyporządkowuje element $a\circ b\in X$a\circ b\in X.

Innymi słowy, działanie wewnętrzne to takie działanie, które łączy dwa elementy zbioru $X$X i zwraca wynik również należący do zbioru $X$X.

Działanie wewnętrzne w zbiorze $X$X nazywamy również działaniem wykonalnym w tym zbiorze. Pozostałe działania nazywamy niewykonalnymi.

W zbiorze liczb naturalnych:

• dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,

• odejmowanie i dzielenie nie są wykonalne ponieważ różnica może być liczbą ujemną a iloraz - wymierną.

W zbiorze liczb naturalnych:

• dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,

• dzielenie nie jest wykonalne ponieważ iloraz może być liczbą wymierną.

W zbiorze liczb wymiernych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

W zbiorze liczb niewymiernych działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie są wykonalne.

W zbiorze liczb rzeczywistych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.