Definicja 1

Wielomian

Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} daną wzorem:

(0)w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0=\sum_{k=0}^na_kx^k

gdzie a_n\neq 0 oraz n\in\mathbb{N_+}.
Jednomiany a_kx^k nazywamy wyrazami wielomianu, natomiast same liczby a_k nazywamy współczynnikami wielomianu, przy czym a_0 to tzw. wyraz wolny. Stopień wielomianu (najwyższą potęgę zmiennej x) oznaczamy symbolem \text{st}(w) lub \text{deg}(w) (od angielskiego wyrażenia degree).

Wielomianem stopnia 0 nazywamy dowolną stałą różną od 0, a wielomianem zerowym - liczbę 0.

Wielomian składający się z dwóch niezerowych jednomianów o różnych stopniach nazywamy dwumianem, a z trzech - trójmianem.

Przykład 1

Przykłady wielomianów

Funkcja stała jest wielomianem stopnia zerowego:
(0)w(x)=6(0)\text{st}(w)=0,x_0=6
Funkcja liniowa jest wielomianem stopnia pierwszego (dwumianem liniowym):
(0)w(x)=2x+4
(0)\text{st}(w)=1,x_1=2,x_0=6
Funkcja kwadratowa jest wielomianem stopnia drugiego (trójmianem kwadratowym):

(0)w(x)=2x^2-5x+10(0)\text{st}(w)=2,x_2=2,x_1=-5,x_0=10
Wielomiany wyższych stopni:
(0)\begin{aligned} f(x)&=-x^6-5x^4+x+10 \end{aligned}(0)\begin{aligned} \text{st}(w)&=6\\x_6&=-1\\x_5&=0\\x_4&=-5\\x_3&=x_2=0\\x_1&=-5\\x_0&=10 \end{aligned}

Uwaga 1

w(0) i w(1)

Zauważ, że w(0) jest równe wyrazowi wolnemu wielomianu, natomiast w(1) to suma współczynników tego wielomianu.

Twierdzenie 1

O stopniu wielomianu

Niech dane będą niezerowe wielomiany u,v. Wówczas:

Jeżeli u,v oraz u+v są niezerowe, to stopień sumy wielomianów jest nie większy niż maksimum ze stopni wielomianów u i v:
(0)\text{st}(u+v)\le \max\{\text{st}(u), \text{st}(v)\}
Stopień iloczynu wielomianów jest sumą stopni tych wielomianów:
(0)\text{st}(w\cdot v)=\text{st}(w)+\text{st}(v)

Definicja 2

Równość wielomianów

Mówimy, że dwa wielomiany są równe, jeżeli są wielomianami zerowymi albo mają ten sam stopień, równe współczynniki występujące przy tych samych potęgach oraz te same wyrazy wolne.

Uwaga 2

Uwaga

Aby sprawdzić czy wielomiany są równe, wystarczy odjąć jeden od drugiego i sprawdzić czy różnica jest równa 0.

Uwaga 3

Uwaga

Jeżeli we wzorze funkcji zmienna nie występuje tylko w podstawie potęgi, to nie jest to funkcja wielomianowa! Np.

(0)x^3+x+5^x

nie jest wielomianem!

Wyraz wielomianu