Definicja 1

Funkcja rosnąca

Funkcja f: X\rightarrow \mathbb{R} jest rosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x_1,x_2\in X zachodzi:

x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Definicja 2

Funkcja malejąca

Funkcja f:X\rightarrow \mathbb{R} jest malejąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x_1,x_2\in X zachodzi:

x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Definicja 3

Funkcja stała

Funkcja f:X\rightarrow \mathbb{R} jest stała, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x_1,x_2\in X zachodzi

f(x_1) = f(x_2)

Definicja 4

Funkcja niemalejąca

Funkcja f:X\rightarrow \mathbb{R} jest niemalejąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x_1,x_2\in X zachodzi:

x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)

Definicja 5

Funkcja nierosnąca

Funkcja f:X\rightarrow \mathbb{R} jest nierosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x_1,x_2\in X zachodzi:

x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)

Definicja 6

Funkcja monotoniczna

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna, jeśli jest rosnąca, malejąca, niemalejąca, nierosnąca lub stała. W innym wypadku funkcję nazywamy niemonotoniczną.

Uwaga 1

Monotoniczność

Zauważ, że aby funkcja była monotoniczna, musi spełniać warunki monotoniczności w całej swojej dziedzinie. Jeżeli funkcja jest rosnąca \ malejąca \ nierosnąca \ niemalejąca \ stała jedynie na wybranych przedziałach swojej dziedziny, to mówimy o funkcji przedziałami monotonicznej.

Definicja 7

Funkcja przedziałami monotoniczna

Mówimy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna, jeśli jej dziedzinę można podzielić na rozłączne przedziały w taki sposób, że w każdym z nich funkcja jest monotoniczna. Mówimy wtedy że funkcja jest rosnąca/malejąca/nierosnąca/niemalejąca/stała w zbiorze.

Uwaga 2

Uwaga

Zauważ, że funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca, funkcja rosnąca jest jednocześnie niemalejąca, a funkcja malejąca jest jednocześnie nierosnąca.

Monotoniczność funkcji