Dzielenie z resztą to działanie pozwalające określić ile razy (iloraz) dana liczba (dzielnik) mieści się w całości w innej liczbie (dzielna) oraz jaka część tej liczby (reszta) nie została wydzielona.

Poprawność dzielenia z resztą sprawdzamy mnożąc otrzymany iloraz przez dzielnik oraz dodając do otrzymanego iloczynu naszą resztę.

(0)11:4=2\ r.\ 3 \ \ \text{ ponieważ }\ \ 2\cdot4 + 3 = 11

Twierdzenie 1

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Jeśli a oraz d są liczbami całkowitymi oraz d\neq0, to istnieje dokładnie jedna taka para liczb całkowitych q oraz r, że

(0)a=qd+r,

gdzie |d| to wartość bezwzględna d oraz 0\le r<|d|.

Z powyższego twierdzenia nasuwają się poniższe wnioski:

Wniosek 1

Nieujemność reszty

Reszta nie może być ujemna. Jeśli reszta wynosi zero (np. 20:4=5\ r.\ 0), to mówimy że 20 dzieli się bez reszty przez 4, bądź że 20 jest podzielne przez 4.

Wniosek 2

Reszta jest mniejsza od dzielnika

W zbiorze liczb naturalnych, reszta z dzielenia jest zawsze mniejsza niż liczba przez którą dzielimy (dzielnik).

Jeśli reszta z dzielenia wynosi 0, to mówimy że dzielna dzieli się przez dzielnik bez reszty lub że dzielna jest podzielna przez dzielnik.

Reszta z dzielenia