Definicja 1

Reguły działań na wyrażeniach algebraicznych

Dodawanie wyrażeń algebraicznych:
Aby dodać do siebie dwa wyrażenia algebraiczne, należy zaznaczyć występujące w nich wyrazy podobne i dokonać ich redukcji, a pozostałe wyrazy przepisać bez zmian.
Odejmowanie wyrażeń algebraicznych:
Aby odjąć od siebie dwa wyrażenia algebraiczne, należy zmienić znak wszystkich wyrazów występujących w drugim wyrażeniu na przeciwny, a następnie dokonać redukcji wyrazów podobnych, pozostawiając pozostałe wyrazy bez zmian.
Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian
Aby pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian, należy każdy wyraz sumy pomnożyć przez ten jednomian.
(0)c \cdot (a+b)=c \cdot a + c \cdot b
Własność ta to tzw. rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian
Ponieważ dzielenie przez liczbę to równoważnie mnożenie przez odwrotność tej liczby, to dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian również jest rozłączne względem dodawania.
(0)(a+b):c=a:c+b:c
Mnożenie sum algebraicznych (opuszczanie nawiasów)
Wyrażenia algebraiczne mnożymy “każdy z każdym”, tj. każdy wyraz pierwszej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej sumy
(0)(a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd
Wyłączanie jednomianu (wspólnego czynnika) przed nawias
Jeśli wśród poszczególnych wyrazów sumy algebraicznej występują jednakowe czynniki, to możemy wyłączyć je przed nawias.
(0)a\cdot b + a \cdot c =a(b+c)
Zauważ, że jest to operacja odwrotna do mnożenia sumy algebraicznej przez wielomian, czyli zamieniamy sumę na iloczyn.

Uwaga 1

Uwaga

Niektóre z wyrażeń algebraicznych można nazwać sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem potęgą, pierwiastkiem itp. w zależności od tego które działanie jest wykonywane jako ostatnie (zgodnie z kolejnością wykonywania działań):

x-y - różnica liczb x i y lub liczba o y mniejsza od x
x+y - suma liczb x i y
x \cdot (2+y) - iloczyn liczny x i sumy liczb 2 i y
(x+y)^2 - kwadrat sumy liczb x i y
\displaystyle \frac{1}{2}x - połowa liczby x
2x - podwojona liczba x
3x - liczba trzy razy większa od x
x^2+y^2 - suma kwadratów liczb x i y
\left(x-y\right)^2 - kwadrat różnicy liczb x i y
x^3+y^3 - suma sześcianów liczb x i y

Definicja 2

Rozkład wyrażenia algebraicznego na czynniki

Rozkładem wyrażenia algebraicznego na czynniki nazywamy rozkład sumy algebraicznej na iloczyn co najmniej dwóch wyrażeń z których oba zawierają co najmniej jedną zmienną.

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów polega na wyznaczeniu ze wzoru jednej zmiennej która występuje jako niewiadoma. W tym celu stosujemy analogiczne metody jak przy rozwiązywaniu równań:

dodajemy lub odejmujemy obustronnie to samo wyrażenie
mnożymy obie strony przez to samo wyrażenie różne od 0

Przykład 1

Przykład

(0)V=\pi r^2H\Rightarrow H = \frac{V}{\pi r^2}

Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian