Definicja 1

Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikatorem ogólnym (lub dużym) nazywamy zwrot “dla każdego” oznaczający że dana własność zachodzi dla wszystkich elementów danego zbioru. Oznaczenie: \forall lub \land.

Definicja 2

Kwantyfikator szczegółowy

Kwantyfikatorem szczegółowym (lub małym) nazywamy zwrot “istnieje” oznaczający że dana własność zachodzi dla co najmniej jednego elementu z danego zbioru. Oznaczenie: \exists lub \lor .

Uwaga 1

Uwaga

Zwrot “istnieje” używamy zamiennie z “dla pewnego”, gdyż jeśli dla pewnego elementu zachodzi dana własność, to istnieje element dla którego ta własność zachodzi.

Definicja 3

Operator logiczny

Operator logiczny to symbol lub funkcja, która łączy jedno lub więcej zdań logicznych (składowych), tworząc nowe zdanie logiczne (złożone), którego wartość logiczna zależy od wartości zdań składowych.

Definicja 4

Negacja (zaprzeczenie)

Negacja (zaprzeczenie) to podstawowy operator logiczny (jednoargumentowy), który przekształca dowolne zdanie na zdanie o przeciwnej wartości logicznej. Negację oznaczamy symbolem \neg lub \sim i czytamy “nieprawda że”.

(0)\begin{align*} p=1 &\Rightarrow \sim p=0\\ p=0 &\Rightarrow \sim p=1 \\ \end{align*}

p	\sim p
1	0
0	1

Definicja 5

Koniunkcja (iloczyn logiczny)

Koniunkcją nazywamy dwuargumentowe działanie logiczne które zdaniom p,q przypisuje zdanie p\land q. Wynikowe zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania składowe mają wartość logiczną 1. Koniunkcję oznaczamy symbolem \land i czytamy jako “i".

(0)p\land q

p	q	p\land q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Definicja 6

Alternatywa

Alternatywą nazywamy dwuargumentowe działanie logiczne które zdaniom p,q przypisuje zdanie p\vee q. Wynikowe zdanie jest prawdziwe, gdy chociaż jedno ze zdań składowych jest prawdziwe. Alternatywę oznaczamy symbolem \vee i czytamy “lub“.

(0)p\vee q

p	q	p\lor q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Definicja 7

Implikacja (wynikanie)

Implikacją nazywamy dwuargumentowe działanie logiczne które zdaniom p,q przypisuje zdanie p\Rightarrow q. Implikacja dwóch zdań jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe. Implikację oznaczamy symbolem p\Rightarrow q i czytamy “jeżeli p to q”.

(0)p\Rightarrow q

Zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, a q jej następnikiem.

p	q	p\Rightarrow q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Definicja 8

Równoważność

Równoważnością zdań p,q nazywamy zdanie postaci “p wtedy i tylko wtedy, gdy q” i symbolicznie zapisujemy je w postaci:

(0)p\iff q

Przyjmujemy, że zdanie p \iff q jest prawdziwe, gdy oba zdania logiczne mają tę samą wartość logiczną, tj. oba są prawdziwe lub oba są fałszywe.

p	q	p\iff q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Definicja 9

Prawo rachunku zdań (tautologia)

Prawem rachunku zdań (tautologią) nazywamy zdanie, którego wartość logiczna zawsze jest równa 1 (zdanie jest zawsze prawdziwe), niezależnie od wartości logicznych zdań które je tworzą.

Uwaga 2

Uwaga

Symbolu równoważności \iff często używamy przy przekształcaniu równań, nierówności bądź układów równań do ich postaci równoważnych i zapisywania ich w jednej linii.

Twierdzenie 1

Twierdzenie o podstawowych prawach rachunku zdań

Dla dowolnych zdań p,q,r zachodzą następujące prawa

Nazwa	Wzór
Prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)	p\Rightarrow p
Prawo podwójnego przeczenia (każde zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania)	p\iff \sim(\sim p)
Prawo idempotentności koniunkcji	p\iff (p\land p)
Prawo idempotentności alternatywy	p\iff (p\vee p)
Prawo wyłączonego środka (spośród zdania i jego zaprzeczenia jedno jest zawsze prawdziwe)	p\ \vee \sim p
Prawo niesprzeczności (zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą być jednocześnie prawdziwe)	\sim(p\ \land \sim p)
Prawo przemienności koniunkcji	(p\land q)\iff (q\land p)
Prawo przemienności alternatywy	(p\vee q)\iff(q\vee p)
Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)	\sim(p\land q)\iff(\sim p \lor\sim q)
Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)	\sim(p\lor q)\iff (\sim p \land \sim q)
Prawo transpozycji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego)	(p\Rightarrow q)\Rightarrow(\sim q \Rightarrow\sim p)
Prawo łączności koniunkcji	(p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)
Prawo łączności alternatywy	(p\lor q)\lor r\Leftrightarrow p\lor (q\lor r)
Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy	p\land (q\lor r)\Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji	p\lor (q\land r)\Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)
Prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)	(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)
Prawo zaprzeczenia implikacji	\sim(p\Rightarrow q)\iff (p\land \sim q)
Prawo równoważności implikacji prostej i przeciwstawnej	p\Rightarrow q\iff (\sim q\Rightarrow \sim p)
Prawa De Morgana dla zdań z kwantyfikatorem ogólnym	\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\forall}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\exists} \ \sim p(x)
Prawa De Morgana dla zdań z kwantyfikatorem szczegółowym	\displaystyle \sim\left(\underset{x}{\exists}\ p(x)\right)\iff \underset{x}{\forall} \ \sim p(x)

Logika matematyczna