Definicja 1

Równanie wielomianowe

Równaniem wielomianowym stopnia n nazywamy równanie postaci:

(0)w(x)=0,

gdzie w jest wielomianem. stopnia n.

Definicja 2

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu w:\mathbb{R}\to\mathbb{R} nazywamy każdą liczbę x\in\mathbb{R} dla której

(0)w(x)=0

Twierdzenie 1

O pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli wielomian w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 o współczynnikach całkowitych (przy czym a_0\neq 0) ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a_0.

Przykład 1

Przykład

Jeżeli wielomian w(x)=2x^3-x^2+5x+8 ma pierwiastek całkowity, to musi on być jedną z liczb: -1,1,-2,2,-4,4,-8,8.

Twierdzenie 2

O pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli wielomian w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 o współczynnikach całkowitych (przy czym a_n\neq 0 oraz a_0\neq 0) ma pierwiastek wymierny w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego \frac{p}{q}, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a_0, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n.

Przykład 2

Przykład

Jeżeli wielomian w(x)=3x^3-5x+2 ma pierwiastek wymierny, to musi on być jedną z liczb:

dzielniki 2: -1,1,-2,2
dzielniki 3: -1,1,-3,3
ułamki:
(0)\begin{array}{cccc} \frac{-1}{-1} & \frac{-1}{1} & \frac{-1}{-3} & \frac{-1}{3}\\ \frac{1}{-1} & \frac{1}{1} & \frac{1}{-3} & \frac{1}{3}\\ \frac{-2}{-1} & \frac{-2}{1} & \frac{-2}{-3} & \frac{-2}{3}\\ \frac{2}{-1} & \frac{2}{1} & \frac{2}{-3} & \frac{2}{3}\\ \end{array}
skracając ułamki i usuwając powtarzające się liczby:
(0)-1,1,- \frac{1}{3}, \frac{1}{3},-2,2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}

Definicja 3

Krotność pierwiastka wielomianu

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0, to jego krotnością nazywamy największą liczbę naturalną k, taką że wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian(x-a)^k.

Twierdzenie 3

O liczbie pierwiastków wielomianu

Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

Twierdzenie 4

O istnieniu pierwiastka wielomianu w przedziale

Jeżeli dla danego wielomianu w istnieją argumenty x_1<x_2 oraz wartości wielomianu w tych punktach w(x_1) oraz w(x_2) są różnych znaków, tj. w(x_1)\cdot w(x_2)<0, to wielomian w ma pierwiastek x_0\in(x_1,x_2).

Uwaga 1

Metoda bisekcji

Powyższe twierdzenie to prosty wniosek z Twierdzenia Darboux. Na tym samym twierdzeniu opiera się tzw. metoda bisekcji (zwana również metodą równego podziału lub metodą połowienia) która polega na systematycznym zmniejszaniu przedziału (x_1,x_2) do momentu znalezienia satysfakcjonującej dokładności bądź miejsca zerowego.

Aby rozwiązać równanie wielomianowe, wykorzystujemy poniższe metody:

przeniesienie wszystkich wyrażeń na lewą stronę, pozostawiając po prawej stronie jedynie 0
rozłożenie lewej strony równania na iloczyn czynników, stosując metody opisane tutaj.
przyrównać każdy czynnik do zera, otrzymując w ten sposób wiele równań niższego stopnia
rozwiązać równania z poprzedniego punktu, w rezultacie rozwiązując początkowe równanie.

Przykład 3

Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias

(0)\begin{aligned} x^6-x^5-2x^4&=0 \end{aligned}

Wyłączamy x^3 przed nawias:

(0)x^3(x^2-x-2)=0

i znajdujemy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

(0)x^3(x+1)(x-2)=0

Przykład 4

Grupowanie wyrazów

Jeżeli nie możemy wyłączyć wspólnego czynnika przed nawias, to równania możemy również rozwiązać grupując odpowiednie wyrazy wielomianu:

(0)\begin{aligned} 3x^4+4x^3+24+32=0 &\iff 3x(x^3+8)+4(x^3+8)=0\\ &\iff (x^3+8)(3x+4)=0 \end{aligned}

Przykład 5

Wzory skróconego mnożenia

Możemy też użyć wzorów skróconego mnożenia:

(0)9x^4-49=0\iff (3x^2-7)(3x^2+7)=0

Przykład 6

Równania dwukwadratowe

…

Przykład 7

Dzielenie wielomianu przez dwumian

Możemy podzielić wielomian przez dwumian

(0)x^3-8x^2+19x-12=0\iff (x-4)(x^2-4x+3)=0

W tym wypadku dzielimy przez dwumian x-4

Twierdzenie 5

O rozwiązaniach równania wielomianowego stopnia trzeciego

Jeżeli x_1,x_2,x_3 są pierwiastkami wielomianu x^3+px^2+qx+r=0 to zachodzą równości:

(0)\begin{aligned} x_1+x_2+x_3&=-p\\ x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3&=q\\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3&=-r \end{aligned}

Twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu