Definicja 1

Diagram Venna

Diagram Venna to graficzny sposób przedstawienia zależności między zbiorami, zazwyczaj przyjmujących postać figur geometrycznych na płaszczyźnie. Zbiory reprezentowane są na ogół przez elipsy, umieszczone wewnątrz prostokąta oznaczającego całą przestrzeń. Aby ułatwić rozpoznanie relacji między zbiorami, takich jak inkluzja, suma czy iloczyn, figury te są wyróżniane różnymi teksturami i kolorami.

Definicja 2

Suma zbiorów

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów. Sumę zbiorów A i B oznaczamy A\cup B.

(0)A\cup B=\{x: x\in A \vee x\in B\}

Uwaga 1

Uwaga

Wyrażenie x\in A\cup B czytamy: “element x należy do zbioru A lub do zbioru B.”

(0)x\in A\cup B\iff x\in A \vee x\in B

Definicja 3

Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy A\backslash B lub A-B.

(0)A\backslash B=\{x: x\in A \land x\notin B\}

Definicja 4

Iloczyn zbiorów

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów. Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy A\cap B.

(0)A\cap B = \{x: x\in A \land x\in B\}

Definicja 5

Zbiory rozłączne

Mówimy, że zbiory A i B są rozłączne, gdy nie mają części wspólnej, czyli A\cap B=\emptyset.

Twierdzenie 1

Prawa De Morgana dla zbiorów

Niech A i B będą zbiorami. Wówczas

(0)\begin{align*} (A\cap B)'&=A'\cup B' &(\text{I prawo})\\ (A\cup B)'&=A' \cap B' &(\text{II prawo}) \end{align*}

Innymi słowy:

Dopełnienie części wspólnej zbiorów A i B jest sumą dopełnień tych zbiorów.
Dopełnienie sumy zbiorów A i B jest częścią wspólną dopełnień tych zbiorów.

Własności te nazywamy odpowiednio I oraz II prawem De Morgana.

Definicja 6

Dopełnienie zbioru

Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni U nazywamy zbiór elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A, tj. różnicę zbiorów U i A. Dopełnienie zbioru oznaczamy symbolem A'.

(0)A'=U\backslash A=\{x: x\in U \land x\notin A\}

Definicja 7

Iloczyn kartezjański

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par (a,b) takich, że a\in A oraz b\in B. Zbiór ten oznaczamy A\times B.

(0)A\times B=\{(a,b): a\in A, b\in B\}

Definicja 8

Zbiór kratowy

Iloczyn kartezjański zbiorów liczb całkowitych \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} nazywamy zbiorem kratowym.

Definicja 9

Różnica symetryczna zbiorów

Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór składający się z elementów należących do dokładnie jednego ze zbiorów A i B:

(0)A\Delta B=\{x:(x\in A \land x\notin B)\lor(x\notin A \land x\in B)\}

Równoważnie:

(0)A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)

Twierdzenie 2

Własności działań na zbiorach

Niech A i B będą zbiorami. Wówczas:

przemienność dodawania:
(0)A\cup B=B\cup A
przemienność mnożenia:
(0)A\cap B=B\cap A
łączność dodawania
(0)(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)
łączność mnożenia:
(0)(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia:
(0)A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)
rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania:
(0)A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)
odejmowanie zbiorów:
(0)A\setminus B=A\cap B'

Teoria zbiorów