Definicja 1

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli liczby których nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy symbolem \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} lub \mathbb{R}-\mathbb{Q}, tj. jako różnicę zbiorów liczb rzeczywistych i wymiernych. Czasami można spotkać się również z oznaczeniami \mathbb{I}, \mathbb{P} lub \mathbb{Q'}.

Uwaga 1

Liczby wymierne i niewymierne

Wprost z definicji liczby niewymiernej wynika, że żadna liczba wymierna nie jest niewymierna, i na odwrót, żadna liczba niewymierna nie jest wymierna - zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne, \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\emptyset, i w sumie tworzą zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\mathbb{R}.

Liczb niewymiernych, podobnie jak liczb wymiernych, jest nieskończenie wiele.

Rys. 1.
Zbiór liczb wymiernych (po lewej) i niewymiernych (po prawej).

Przykład 1

Liczby niewymierne

Przykładami liczb niewymiernych są liczby: \displaystyle\sqrt{2},\sqrt{3},\ln2, \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \pi,e, \log_{10}2, \sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{7}-2,-\frac{1}{\sqrt{2}},\ldots.

Uwaga 2

Uwaga

Zapis niektórych liczb może sugerować, że są one liczbami niewymiernymi, podczas gdy tak naprawdę są one wymierne. Przykładami są np. liczba \displaystyle\log_2{8}, która po uproszczeniu wynosi 3, bądź \displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2.

Jak sprawdzić czy liczba jest niewymierna?

To co odróżnia liczby niewymierne od liczb wymiernych to fakt, że ich rozwinięcie dziesiętne jest nie tylko nieskończone (jak może być w przypadku liczb wymiernych), ale również nieokresowe. Dlatego, aby odróżnić liczbę wymierną od liczby niewymiernej, należy znaleźć rozwinięcie dziesiętne tej liczby i w przypadku gdy jest ono nieskończone - zobaczyć czy jesteśmy w stanie wskazać jego okres.

Przykład 2

Liczby niewymierne

Przykłady liczb wymiernych i niewymiernych w oparciu o ich rozwinięcie dziesiętne:

\pi=3.141592653589793238462643383279502884197\ldots - liczba niewymierna, ponieważ nie jesteśmy w stanie wskazać jej okresu, tj. liczby po przecinku występują bez określonego schematu i powtarzalności.
0,133333333\ldots=0,1(3) - liczba wymierna, ponieważ od drugiego miejsca po przecinku pojawiają się wyłącznie kolejne trójki.
0,12312312385743920225\ldots - brak okresu - liczba niewymierna.
5,1132767676767676\ldots=5,1132(76) - okres (76) - liczba wymierna.

Alternatywnie, aby uzasadnić że dana liczba jest niewymierna, możemy skorzystać z tzw. dowodu nie wprost, czyli założyć że liczba jest wymierna, a następnie dojść do sprzeczności.

Poniżej przedstawiamy jak przebiega dowód nie wprost dla liczb \log_23 oraz \sqrt{2}.

Dowód

Załóżmy, że \log_23 jest liczbą wymierną, tj. istnieją p,q\in\mathbb{N+} (ponieważ \log_23>0) takie, że:

(0)\log_23=\frac{p}{q}

Wówczas z definicji logarytmu:

(0)\begin{align*} 2^{\frac{p}{q}}&=3\\ \end{align*}

Podnosząc obustronnie do potęgi q otrzymujemy:

(0)2^p=3^q

Liczba 2^p po lewej stronie równości jest parzysta, natomiast liczba 3^q po prawej stronie równości jest nieparzysta - sprzeczność.
W rezultacie liczba \log_23 nie może być liczbą wymierną, zatem jest niewymierna!

Dowód

Załóżmy, że \sqrt{2} jest liczbą wymierną, tj. istnieją p,q\in\mathbb{N+} (ponieważ \sqrt{2}>0) takie, że:

(0)\sqrt{2}=\frac{p}{q}

Dodatkowo, załóżmy że ułamek \displaystyle\frac{p}{q} jest nieskracalny, tj. p i q są względnie pierwsze a co za tym idzie, nie są jednocześnie parzyste (albo jedna z nich jest nieparzysta a druga parzysta, albo obie są nieparzyste). Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy:

(0)2=\frac{p^2}{q^2}\Rightarrow2q^2=p^2

Lewa strona równości 2q^2 to liczba parzysta, a co za tym idzie wyrażenie po prawej stronie, tj. p^2 również musi być parzyste. Kwadrat liczby jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy podnoszona liczba również jest parzysta, zatem p musi być parzyste. Parzystość liczby p oznacza, że możemy ją zapisać w postaci

(0)p=2k

dla pewnego k\in\mathbb{N_+}. Podstawiając otrzymujemy:

(0)\begin{align*} 2q^2&=(2k)^2\\ 2q^2&=4k^2 \\ q^2&=2k^2 \end{align*}

Skoro q^2=2k^2, to q^2 musi być liczbą parzystą, a co za tym idzie q musi być liczbą parzystą. To prowadzi do sprzeczności, ponieważ zakładaliśmy że p i q nie są jednocześnie parzyste! W rezultacie, liczba \sqrt{2} musi być liczbą niewymierną.