Analiza zespolona

Analiza zespolona to dziedzina matematyki, która zajmuje się badaniem funkcji zmiennych zespolonych, czyli funkcji określonych na liczbach zespolonych (liczbach postaci $z=x+iy$z=x+iy), gdzie $x,y$x,y są liczbami rzeczywistymi, a $i$i to jednostka urojona). Analiza zespolona ma eleganckie teorie i silne powiązania z geometrią, fizyką matematyczną oraz teorią liczb.

Kluczowe zagadnienia analizy zespolonej:

• Funkcje holomorficzne – funkcje zespolone, które są różniczkowalne w sensie zespolonym. Holomorficzność jest znacznie silniejszym warunkiem niż różniczkowalność w przypadku funkcji rzeczywistych.
  Przykłady zadań: Sprawdzanie, czy dana funkcja jest holomorficzna, wyznaczanie jej pochodnej.

• Równania Cauchy’ego-Riemanna – warunki, które muszą być spełnione, aby funkcja była holomorficzna.
  Przykłady zadań: Weryfikacja, czy dana funkcja spełnia równania Cauchy’ego-Riemanna.

• Całkowanie zespolone – badanie całek krzywoliniowych w płaszczyźnie zespolonej. Kluczowym narzędziem jest twierdzenie Cauchy’ego, które mówi, że całka z funkcji holomorficznej po zamkniętej krzywej jest równa zero.
  Przykłady zadań: Obliczanie całek zespolonych za pomocą twierdzenia Cauchy’ego.

• Szeregi Laurenta – uogólnienie szeregów Taylora na funkcje, które mają osobliwości (punkty, gdzie funkcja przestaje być holomorficzna).
  Przykłady zadań: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta, badanie ich zbieżności.

• Residua i twierdzenie o residuach – residuum to wartość związana z osobliwością funkcji. Twierdzenie o residuach pozwala obliczać całki zespolone w prosty sposób.
  Przykłady zadań: Obliczanie residuów, stosowanie twierdzenia o residuach do obliczania całek.