Definicja 1

Funkcja

Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie f, w którym każdemu elementowi x\in X odpowiada dokładnie jeden element y\in Y.

(0)f:X\rightarrow Y

Zbiór X nazywamy dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji i z reguły oznaczamy go symbolem D lub D_f, natomiast jego elementy x\in X nazywamy argumentami (zmienną niezależną). Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji, natomiast te z jego elementów y\in Y które są przyporządkowane przynajmniej jednemu argumentowi x\in X, nazywamy wartościami funkcji (zmiennymi zależnymi, bo zależą od zmiennych niezależnych), a zbiór wszystkich wartości funkcji nazywamy zbiorem wartości funkcji i oznaczamy go f(X) lub \text{ZW}_f. Funkcje zwykle oznaczamy małymi literami f,g,h,\ldots, a wartość funkcji f dla argumentu x\in X (w punkcie x) zapisujemy f(x) bądź w szczególności y=f(x) dla pewnego y\in Y.

Definicja 2

Funkcja liczbowa

Funkcję, której argumenty i wartości są liczbami rzeczywistymi, tj. X,Y\subset\mathbb{R}, nazywamy funkcją liczbową zmiennej rzeczywistej.

Uwaga 1

Odwzorowanie odwrotne

Zauważ, że odwzorowanie odwrotne do funkcji f:X\rightarrow Y

(0)f^{-1}:Y\to X

nie zawsze jest funkcją ponieważ:

może istnieć wartość y\in Y która jest przyjmowana przez więcej niż jeden argument x\in X.
mogą istnieć wartości y\in Y które nie są przyjmowane przez żaden argument.

Uwaga 2

Uwaga

Zauważ, że między przeciwdziedziną funkcji i zbiorem wartości funkcji zachodzi następująca relacja zawierania się: f(X)\subseteq Y - mogą istnieć elementy w zbiorze Y które nie są wartością funkcji dla żadnego argumentu. Ogólnie, pojęcie przeciwdziedziny jest stosunkowo rzadko stosowane i nie musi być dla danej funkcji określone. Większą uwagę przykuwa się do dziedziny funkcji i wynikającego z niej zbioru wartości funkcji.

Uwaga 3

Uwaga

Funkcja może przyporządkowywać różnym argumentom tę samą wartość.

Sposoby określania funkcji

Funkcje mogą zostać określone na wiele sposobów:

opis słowny - słowne określenie dziedziny i odwzorowania, np.:
“Funkcja f przyporządkowuje każde dodatniej liczbie naturalnej jej kwadrat, a każdej liczbie naturalnej ujemnej jej sześcian“.
graf - wizualne przedstawienie dwóch zbiorów oraz relacji pomiędzy argumentami i wartościami funkcji
tabela - zapisanie argumentów funkcji oraz odpowiadających im wartości w osobnych wierszach/kolumnach tabeli.
x
0
1
2
3
4
f(x)
0
1
4
9
16
wzór - podanie wzoru funkcji z użyciem symboli matematycznych (w tym określenie dziedziny)
(0)f(x)=x^2+2x+4,\quad x\in\mathbb{R}
lub równoważnie:
(0)y=x^2+2x+4,\ \quad x\in\mathbb{R}
wykres - przedstawienie dziedziny oraz zbioru wartości funkcji za pomocą wykresu w układzie współrzędnych.
Zbiór par uporządkowanych - przedstawienie argumentów i wartości funkcji dla tych argumentów w postaci par (x,f(x)).

Oczywiście nie każdą funkcję można określić każdym ze wspomnianych sposobów (tylko funkcje liczbowe mogą zostać określone za pomocą wzoru czy wykresu).

Tabela funkcji