Definicja 1

Kąt

Kąt to jeden z dwóch obszarów (tzw. wnętrze kąta) powstałych w wyniku rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch półprostych (zwanych ramionami kąta) o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta), wraz z tymi półprostymi.

Kąty zwyczajowo oznaczamy małymi greckimi literami: \alpha - alfa, \beta - beta, \gamma - gamma, \delta - delta itd., lub symbolem \angle AOB lub \angle A, gdzie \angle oznacza słowo “kąt”, O to wierzchołek kąta, a A i B to punkty leżące na dwóch różnych ramionach kąta. Aby jednoznacznie określić o który z dwóch kątów na rysunku nam chodzi, rysujemy niewielki łuk lub wypełniam go kolorem (zacieniowujemy).

Definicja 2

Miara stopniowa kąta

Miara stopniowa kąta to sposób określania wielkości kąta, w którym pełny obrót, odpowiadający kątowi pełnemu, jest podzielony na 360 równych części, zwanych stopniami. Jeden stopień oznaczany symbolem (^\circ) jest równy \frac{1}{360} kąta pełnego. W mierze stopniowej obowiązuje następująca hierarchia podziału:

Jednostką podstawową jest 1^\circ,
Kąt pełny ma 360^\circ.
Jeden stopień (1^\circ) dzieli się na 60 minut kątowych (1'), gdzie 1'=\frac{1}{60}^\circ
Jedna minuta kątowa (1') dzieli się na 60 sekund kątowych (1''), gdzie 1''=\frac{1}{60}'=\frac{1}{3600}^\circ

Definicja 3

Miara łukowa kąta

Miarą łukową kąta \alpha nazywamy stosunek długości łuku l na którym ten kąt jest oparty, do długości promienia okręgu r, dla którego kąt \alpha jest kątem środkowym.

(0)\alpha=\frac{l}{r}

W mierze łukowej:

Jednostką podstawową jest jeden radian (1\ \text{rad})
Kąt pełny ma 2\pi radianów.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że miara łukowa kąta jest poprawnie zdefiniowana ponieważ stosunek \displaystyle \frac{s}{r} nie zależy od długości promienia. Dodatkowo, miara kąta pełnego w radianach faktycznie wynosi 2\pi ponieważ

(0) \frac{s}{r}= \frac{2\pi r}{r}=2\pi \approx 6{,}28

Wiemy, że 360^\circ =2\pi \text{ rad}, zatem

(0)1^\circ = \frac{2\pi}{360^\circ }\text{ rad}= \frac{\pi}{180^\circ } \text{ rad}

a stąd, dla dowolnego t\in\mathbb{R} zachodzi:

(0)t^\circ = \frac{\pi \cdot t}{180} \text{ rad}

W drugą stronę mamy:

(0)1\ \text{rad}=\left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ

a stąd

(0)t\ \text{rad}=\left( \frac{180 \cdot t}{\pi} \right)^\circ

Uwaga 2

Uwaga

Warto zapamiętać, że

(0)360^\circ =2\pi\qquad180^\circ =\pi \qquad 90^\circ = \frac{\pi}{2}

Dodatkowo, przy przeliczaniu stopni na radiany i odwrotnie, warto posłużyć się proporcjami.

Definicja 4

Kąty przystające

Mówimy, że dwa kąty są przystające, jeżeli ich miary są równe.

Uwaga 3

Kąt a miara kąta

Symbole \alpha,\beta,\gamma itp. oraz \angle BAC oznaczają zarówno kąt (jako obszar) jak i jego miarę. Czasami używamy również zapisu |\angle AOB|.

Wierzchołek kąta