Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Każdy ułamek dziesiętny można przedstawić w postaci ułamka zwykłego który następnie można uprościć, jeśli to możliwe.

Przykład 1

Przykład

(0)\displaystyle 0{,}25= \frac{25}{100}= \frac{1}{4} (0)3,14=3\frac{14}{100}=3\frac{7}{50}

Zamiana ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny

Każdy ułamek dziesiętny zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego. Jednakże, niektóre ułamki mogą mieć rozwinięcie dziesiętne nieskończone, tj. nieskończoną liczbę cyfr po przecinku.

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, należy rozszerzyć jego mianownik do odpowiedniej potęgi liczby 10, lub podzielić licznik przez mianownik (stosując dzielenie pisemne).

Przykład 2

Ułamki dziesiętne ze skończonym i nieskończonym rozwinięciem

Ułamki mogą mieć rozwinięcie dziesiętne skończone:

(0)2 \frac{3}{5}=2\frac{6}{10}=2{,}6 (0) \frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75

jak i nieskończone:

(0)\frac{2}{3}=0{,}666\ldots

Zauważ, że w powyższym rozwinięciu cyfra 6 powtarza się w nieskończoność i nigdy nie dostajemy reszty 0 - jest to tzw. ułamek dziesiętny okresowy o okresie 6.

Definicja 1

Ułamek dziesiętny okresowy

Ułamkiem dziesiętnym okresowym nazywamy ułamek dziesiętny, w którym pewna sekwencja cyfr po przecinku, zwana okresem powtarza się od pewnego miejsca w nieskończoność. Ułamki dziesiętne okresowe możemy zapisać w skróconej postaci w której okres jest zapisany w nawiasie:

(0)a{,}bcdbcdbcd\ldots=a{,}\left(bcd\right)

Przykład 3

Ułamki dziesiętne okresowe

(0)\begin{aligned} \displaystyle \frac{1}{11}&=0{,}0909090909\ldots=0{,}(09)\\ \frac{179}{150}&=1{,}19333333333\ldots=1{,}19(3) \end{aligned}

Twierdzenie 1

O rozwinięciu dziesiętnym liczb wymiernych

Każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe.

Twierdzenie 2

O rozwinięciu dziesiętnym liczb niewymiernych

Każda liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Uwaga 1

Uwaga

Aby usprawnić zamianę ułamków dziesiętnych na zwykłe i odwrotnie, warto zapamiętać często występujące zależności:

\displaystyle \frac{1}{2}=0{,}5 , \displaystyle \frac{1}{5}= 0{,}2 oraz 10=2 \cdot 5
\displaystyle \frac{1}{4}=0{,}25 oraz 100=4 \cdot 25
\displaystyle \frac{3}{4}=0{,}75
\displaystyle \frac{1}{10} =0{,}1
\displaystyle \frac{1}{8}=0{,}125 oraz 1000=8 \cdot 125

Rozszerzanie i skracanie ułamków dziesiętnych odbywa się przez skreślenie i dopisanie końcowych zer (po przecinku).

Twierdzenie o rozwinięciu dziesiętnym liczb niewymiernych