Definicja 1

Ciąg rosnący

Mówimy, że ciąg liczbowy jest rosnący, jeżeli dla dowolnej liczby n\in\mathbb{N_+} spełniona jest nierówność a_{n+1}>a_n, lub równoważnie: a_{n+1}-a_n>0, tj. gdy każdy następny wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego) jest większy od poprzedniego.

Definicja 2

Ciąg malejący

Mówimy, że ciąg liczbowy jest malejący, jeżeli dla dowolnej liczby n\in\mathbb{N_+} spełniona jest nierówność a_{n+1}<a_n, lub równoważnie: a_{n+1}-a_n<0.

Definicja 3

Ciąg stały

Mówimy, że ciąg liczbowy jest stały, jeżeli dla dowolnej liczby n\in\mathbb{N_+} zachodzi a_{n+1}=a_n lub równoważnie: a_{n+1}-a_n=0.

Definicja 4

Ciąg niemalejący

Mówimy, że ciąg liczbowy jest niemalejący, jeżeli dla dowolnej liczby n\in\mathbb{N_+} spełniona jest nierówność a_{n+1}\ge a_n, lub równoważnie: a_{n+1}-a_n\ge0.

Definicja 5

Ciąg nierosnący

Mówimy, że ciąg liczbowy jest nierosnący, jeżeli dla dowolnej liczby n\in\mathbb{N_+} spełniona jest nierówność a_{n+1}\le a_n, lub równoważnie: a_{n+1}-a_n\le0.

Definicja 6

Monotoniczność ciągu

Ciąg liczbowy nazywamy monotonicznym, jeżeli jest rosnący, malejący, stały, nierosnący lub niemalejący.

Ciąg, który nie jest monotoniczny nazywamy ciągiem niemonotonicznym.

Twierdzenie 1

O monotoniczności ciągu o wyrazach dodatnich

Niech dany będzie ciąg \left(a_n\right) o wyrazach dodatnich. Wówczas, jeżeli dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a_n oraz a_{n+1} tego ciągu zachodzi:

\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 , to ciąg \left(a_n\right) jest rosnący,
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1 , to ciąg \left(a_n\right) jest malejący,
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=1 , to ciąg \left(a_n\right) jest stały.