Twierdzenie o metodzie wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi (wzory Cramera)

Niech dany będzie układ równań liniowych

\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

gdzie $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$ a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}, $a_1^2+b_1^2>0$ a_1^2+b_1^2>0 i $a_2^2+b_2^2>0$ a_2^2+b_2^2>0, oraz niech dane będą wyznaczniki tego układu równań:

\begin{aligned} W=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\ W_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\\ W_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \end{aligned}

Wówczas:

układ ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $W\neq 0$ W\neq 0, a rozwiązanie to wyraża się wzorem:
$(x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right)$
(x,y)=\left( \frac{W_x}{W}, \frac{W_y}{W} \right)
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy $W=W_x=W_y=0$ W=W_x=W_y=0
układ nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy
$W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0)$
W=0\land(W_x\neq 0 \vee W_y\neq 0)