Definicja 1

Działanie wewnętrzne

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub operacją wewnętrzną) w zbiorze X nazywamy funkcję \circ:X\times X\to X, która każdej parze elementów (a,b)\in X\times X przyporządkowuje element a\circ b\in X.

Innymi słowy, działanie wewnętrzne to takie działanie, które łączy dwa elementy zbioru X i zwraca wynik również należący do zbioru X.

Uwaga 1

Uwaga

Działanie wewnętrzne w zbiorze X nazywamy również działaniem wykonalnym w tym zbiorze. Pozostałe działania nazywamy niewykonalnymi.

Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym, którego najmniejszy element to 0 a największy nie istnieje.

Twierdzenie 1

O działaniach w zbiorze liczb naturalnych

W zbiorze liczb naturalnych:

dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
odejmowanie i dzielenie nie są wykonalne ponieważ różnica może być liczbą ujemną a iloraz - wymierną.

Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.

Twierdzenie 2

O działaniach w zbiorze liczb całkowitych

W zbiorze liczb naturalnych:

dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi,
dzielenie nie jest wykonalne ponieważ iloraz może być liczbą wymierną.

Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego.

Twierdzenie 3

O działaniach w zbiorze liczb wymiernych

W zbiorze liczb wymiernych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieskończonym i nie ma ani elementu najmniejszego, ani największego. Co więcej, jest on nawet liczniejszy niż zbiór liczb wymiernych.

Twierdzenie 4

O działaniach w zbiorze liczb niewymiernych

W zbiorze liczb niewymiernych działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie są wykonalne.

Twierdzenie 5

O działaniach w zbiorze liczb rzeczywistych

W zbiorze liczb rzeczywistych działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.