Definicja 1

Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste to rozszerzenie liczb wymiernych obejmujące wszystkie możliwe wartości na osi liczbowej, w tym liczby niewymierne.

Uwaga 1

Uwaga

Własności liczb rzeczywistych można utożsamić z własnościami prostej, czyli osi liczbowej na której te liczby są zaznaczane:

tak jak prosta nie ma początku ani końca, tak w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma największej oraz najmniejszej liczby,
tak jak istnieje nieskończenie wiele punktów między dwoma punktami na prostej, tak istnieje nieskończenie wiele liczb rzeczywistych które leżą pomiędzy dwoma innymi liczbami rzeczywistymi.
tak jak na prostej punkty są uporządkowane, tak i w zbiorze liczb rzeczywistych dla dwóch różnych liczb x,y zachodzi x<y lub x>y - tj. możemy je porównywać.

W zbiorze liczb rzeczywistych, działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowaniem, mnożenie i dzielenie.

Twierdzenie 1

Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżniamy następujące prawa działań:

przemienność dodawania - dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} zachodzi
(0)x+y=y+x
łączność dodawania - dla dowolnych x,y,z\in\mathbb{R} zachodzi:
(0)(x+y)+z=x+(y+z)
element neutralny dodawania - dla dowolnego x\in\mathbb{R} zachodzi:
(0)x+0=x
element przeciwny - dla dowolnego x\in\mathbb{R} istnieje liczba przeciwna (-x)\in\mathbb{R} i zachodzi:
(0)x+(-x)=0
przemienność mnożenia - dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} zachodzi:
(0)x\cdot y=y\cdot x
łączność mnożenia - dla dowolnych x,y,z\in\mathbb{R} zachodzi
(0)(x \cdot y) \cdot z=x \cdot (y \cdot z)
element neutralny mnożenia - dla dowolnego x\in\mathbb{R} zachodzi:
(0)x \cdot 1=x
element odwrotny - dla dowolnego x\in\mathbb{R}, x\neq0, istnieje liczba do niej odwrotna \displaystyle \frac{1}{x}\in\mathbb{R} i zachodzi
(0)x \cdot \frac{1}{x}=1
rozdzielność mnożenia względem dodawania - dla dowolnych x,y,z\in\mathbb{R} zachodzi
(0)x \cdot (y+z)=x \cdot y+x \cdot z

Uwaga 2

Uwaga

Odejmowanie i dzielenie nie jest ani łączne, ani przemienne! Jednakże, prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania jest prawdziwe i zachodzi:

(0)x \cdot (y-z)=x \cdot y-x \cdot z

Uwaga 3

Kolejność wykonywania działań

Działania w nawiasach → potęgowanie i pierwiastkowanie → mnożenie i dzielenie w kolejności występowania → dodawanie i odejmowani w kolejności występowania.

Liczba rzeczywista