Rozszerzanie i skracanie ułamków to dwie podstawowe operacje na ułamkach, które pozwalają zmieniać ich postać, nie zmieniając ich wartości.

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Wartość ułamka się nie zmienia, ale jego postać jest inna.

Definicja 1

Rozszerzanie ułamków

Niech \displaystyle \frac{a}{b} będzie ułamkiem, gdzie a,b\in\mathbb{N} i b\neq0. Rozszerzaniem tego ułamka nazywamy działanie polegające na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę k\neq0:

(0) \frac{a}{b}= \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Przykład 1

Przykład

Mnożąc licznik oraz mianownik ułamka \displaystyle \frac{2}{3} przez 7 otrzymamy rozszerzenie tego ułamka przyjmujące postać:

(0) \frac{2}{3}= \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}= \frac{14}{21}

Analogicznie, mnożąc przez 2,10 i 50 otrzymamy następujące rozszerzenia:

(0)\begin{aligned} \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}= \frac{4}{6}\\ \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}= \frac{20}{30}\\ \frac{2}{3}&= \frac{2 \cdot 50}{3 \cdot 50}= \frac{100}{150} \end{aligned}

Skracanie ułamków

Skracanie ułamka to operacja odwrotna do rozszerzania ułamków i polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera (wspólny dzielnik). Wartość ułamka się nie zmienia, ale jego postać jest inna.

Definicja 2

Skracanie ułamków

Niech \displaystyle \frac{a}{b} będzie ułamkiem, gdzie a,b\in\mathbb{N} i b\neq0. Skracaniem tego ułamka nazywamy działanie polegające na podzieleniu licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik k\neq0 (jeśli istnieje):

(0) \frac{a}{b}= \frac{a :k}{b :k}

Uwaga 1

Skracanie ułamków

Kady ułamek można rozszerzyć, natomiast nie każdy ułamek można skrócić! Jest to niemożliwe gdy licznik i mianownik są względnie pierwsze i nie mają wspólnego dzielnika - takie ułamki nazywamy nieskracalnymi.

Definicja 3

Ułamek nieskracalny

Ułamek \displaystyle \frac{a}{b} , gdzie a,b\in\mathbb{Z} oraz b\neq 0, nazywamy nieskracalnym, jeżeli największy wspólny dzielnik licznika i mianownika wynosi 1 (licznik i mianownik są względnie pierwsze), czyli

(0)\text{NWD}(a,b)=1

Przykład 2

Przykład

ułamek \displaystyle \frac{4}{12} możemy skrócić przez 4 ponieważ 4|4 oraz 4|12:
(0) \frac{4}{12}= \frac{4:4}{12:4}= \frac{1}{3}
ułamek \displaystyle \frac{20}{100} możemy skrócić przez każdą z liczb: 2,4,5,10,20 ponieważ każda z tych liczb jest wspólnym dzielnikiem 20 i 100.
(0)\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:4}{100:4}= \frac{5}{25} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:5}{100:5}= \frac{4}{20} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:10}{100:10}= \frac{2}{10} \\ \frac{20}{100}&= \frac{20:20}{100:20}= \frac{1}{5} \\ \end{aligned}
lub możemy skracać krok po kroku aż otrzymamy wyrażenie nieskracalne:
(0)\begin{aligned} \frac{20}{100}&= \frac{20:2}{100:2}= \frac{10}{50}\\ &= \frac{10:2}{50:2}= \frac{5}{25}\\ &= \frac{5:5}{25:5}= \frac{1}{5}\\ \end{aligned}

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Dwa ułamki \displaystyle \frac{a}{b} i \displaystyle \frac{c}{d} o różnych mianownikach b\neq d możemy rozszerzyć w taki sposób, aby miały wspólny mianownik, czyli taki w którym początkowe mianowniki b i d mieszczą się całkowitą ilość razy. Najprościej znajdziemy go mnożąc przez siebie mianowniki b i d, jednak czasami warto użyć \text{NWW}(a,b). W tym celu należy:

Znaleźć wspólny mianownik - najlepiej użyć jako mianownika najmniejszej wspólnej wielokrotności \text{NWW(b,d)} obu mianowników. Ewentualnie, możemy użyć ich iloczynu b \cdot d.
Rozszerzyć ułamki - każdy ułamek rozszerz tak, aby miał ten sam mianownik z pierwszego kroku
(0)\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot d}{b \cdot d}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot b}{b \cdot d} \end{aligned}
lub
(0)\begin{aligned} \frac{a}{b}= \frac{a \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{b} }{\text{NWW}(b,d)}\wedge \frac{c}{d}= \frac{c \cdot \frac{\text{NWW}(b,d)}{d} }{\text{NWW}(b,d)} \end{aligned}