Kolejne wielokrotności liczby a to: 2 \cdot a,3 \cdot a,4 \cdot a,\ldots., czyli liczby które powstają przez pomnożenie liczby a przez kolejne liczby nautralne.

Definicja 1

Wspólna wielokrotność

Wspólną wielokrotnością liczb a i b nazywamy każdą liczbę która dzieli się bez reszty przez obie te liczby.

ze wspólnych wielokrotności liczb a i b najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb ai b i oznaczamy \text{NWW}(a,b).

Definicja 2

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Niech a,b\in\mathbb{N}. Wówczas liczbę w\in\mathbb{N_+} nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a i b jeśli w jest najmniejszą liczbą naturalną która dzieli się bez reszty (jest podzielna) przez a i b, tj. a|w oraz b|w. Symbolicznie zapisujemy \text{NWW}(a,b)=w.

Uwaga 1

Uwaga

Liczba 0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej, dlatego w definicji najmniejszej wspólnej wielokrotności dopuszczamy jedynie dodatnie wielokrotności.

Twierdzenie 1

O iloczynie NWD i NWW

Dla dowolnych a,b\in\mathbb{N_+} zachodzi:

(0)\text{NWD}(a,b) \cdot \text{NWW}(a,b)=a \cdot b

Twierdzenie 2

Własności \text{NWW}

Jeżeli a,b,c\in\mathbb{N} oraz a|c i b|c, to \text{NWW}(a,b)|c.

Algorytm wyznaczania NWW dwóch liczb

Aby dla dwóch liczb a i b znaleźć ich \text{NWW}(a,b) należy:

rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze,
(0)\begin{align*} a&=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4 \\ b&=p_1\cdot p_1\cdot p_1\cdot p_3\cdot p_5, \\ \end{align*}
gdzie p_i to różne liczby pierwsze.
znaleźć czynniki które występują w obu tych rozkładach:
(0)\begin{align*} a&=\textcolor{orange}{p_1}\cdot p_2\cdot \textcolor{green}{p_3}\cdot p_4 \\ b&=\textcolor{orange}{p_1}\cdot p_1\cdot p_1\cdot \textcolor{green}{p_3}\cdot p_5 \\ \end{align*}
policzyć \text{NWD}(a,b):
(0)\text{NWD}(a,b)=\textcolor{orange}{p_1}\cdot \textcolor{green}{p_3}
oraz wreszcie wymnożyć \text{NWD}(a,b) przez niezaznaczone czynniki pierwsze z obu liczb - otrzymana liczba to \text{NWW}(a,b):
(0)\text{NWW}(a,b)=\text{NWD}(a,b)\cdot \underbrace{p_2\cdot p_4}_{\substack{\text{pozostałe} \\ \text{czynniki } a}} \cdot \underbrace{p_1\cdot p_1\cdot p_5}_{\substack{\text{pozostałe} \\ \text{czynniki } b}}

Uwaga 2

\text{NWW}

Zwróć uwagę na następujące obserwacje przy wyznaczaniu \text{NWW}(a,b):

Jednym z kroków wymaganych to policzenia \text{NWW}(a,b) jest policzenie \text{NWD}(a,b).

Jeżeli b|a, to \text{NWW}(a,b)=a.
Jeżeli a=b, to \text{NWW}(a,b)=a=b.
Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników pierwszych), to \text{NWW}(a,b)=a\cdot b.
\text{NWW} dla więcej niż dwóch liczb, np. \text{NWW}(a,b,c) wyznaczamy analogicznie jak w przypadku dwóch liczb - liczymy \text{NWD}(a,b,c), a następnie mnożymy go przez niezaznaczone czynniki pierwsze występujące w każdym z trzech rozkładów.

Twierdzenie o iloczynie NWD i NWW