Rozwiązywanie równania polega na stopniowym upraszczaniu go poprzez wykonywanie przekształceń prowadzących do równania równoważnego o prostszej postaci. Aby to osiągnąć, możemy między innymi:

Pozbyć się nawiasów oraz zredukować wyrazy podobne.
Dodać bądź odjąć od obu stron równania to samo wyrażenie - liczbę bądź wyrażenie zawierające niewiadomą.
Pomnożyć bądź podzielić obie strony równania przez tę samą liczbę (różną od zera)

Tego rodzaju metodę rozwiązywania równań nazywamy metodą równań równoważnych.

Twierdzenie 1

O metodzie równań równoważnych

Dla dowolnego równania zachodzą następujące własności:

uproszczenie równania poprzez wykonanie występujących w nim działań oraz redukcji wyrazów podobnych (po dowolnej ze stron) prowadzi do równania równoważnego,
dodanie (odjęcie) tej samej liczby do (od) obu stron równania prowadzi do równania równoważnego.
pomnożenie lub podzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera lub przez to samo wyrażenie (o wartości różnej od 0) nie zmieniające dziedziny tego równania prowadzi do równania równoważnego.

Przy rozwiązywaniu równań pierwiastkowych, pomocne okazują się następujące własności:

dla dowolnego podzbioru dziedziny równania L=P w którym obie strony mają te same znaki, tj. są jednocześnie ujemne bądź dodatnie, równanie ma w tym zbiorze ten sam zbiór rozwiązań co równanie L^2=P^2.
równanie L=P jest sprzeczne w dowolnym podzbiorze dziedziny równania w którym obie strony mają przeciwne znaki.

Uwaga 1

Przenoszenie wyrażeń w równaniu

Dowolne wyrażenie możemy “przenieść” na drugą stroną równania, jednak należy pamiętać że należy zmienić znak wyrażenia na przeciwny. Przenoszenie wyrażenia to bowiem nic innego niż dodanie/odjęcie tego wyrażenia od obu stron równania.

Uwaga 2

Uwaga

Przekształcając równanie do postaci równoważnej, warto wykonywane przekształcenia zapisać po prawej stronie rozważanego równania za pionową kreską |:

(0)\begin{aligned} 4x-13&=3 &|&+13\\ 4x&=16 &|&:4\\ x&=4 \end{aligned}

W przypadku zadań tekstowych, warto postępować zgodnie z poniższymi punktami:

Analiza treści zadania - na podstawie treści zadani ustalamy co jest niewiadomą
Ułożenie równania - na podstawie odpowiednich wyrażeń w treści zadania zawierających niewiadomą układamy równanie
Rozwiązanie równania
Sprawdzenie wyniku - sprawdzamy czy otrzymany wynik spełnia równanie oraz warunki z treści zadania.
Sformułowanie odpowiedzi

Twierdzenie o metodzie równań równoważnych