Podobnie jak w przypadku równań zawierających wartość bezwzględną, rozwiązując nierówności tego typu, musimy uwzględnić dwie możliwości – dodatnią i ujemną wartość wyrażenia znajdującego się w module. Dlatego też nierówność z wartością bezwzględną należy najpierw przekształcić na dwie odrębne nierówności pozbawione modułu, a następnie rozwiązać obie nierówności i w zależności od zwrotu nierówności wziąć jako rozwiązanie cześć wspólną bądź sumę otrzymanych przedziałów.

Prześledźmy jak wygląda schemat rozwiązywania nierówności dla każdego ze znaków <,>,\le,\ge. Zakładamy, że c\ge0 (inaczej nierówność nie miałaby sensu bądź byłaby zawsze spełniona) oraz a\neq 0, tj. w nierówności występuje niewiadoma x.

Uwaga 1

Interpretacja geometryczna nierówności z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna z różnicy dwóch liczb wyraża odległość między tymi liczbami na osi liczbowej, zatem kiedy rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną, tak naprawdę szukamy liczb, które spełniają określone warunki tej odległości:

Warunek mniejszości (<,\le)
Jeśli wymagamy, aby coś było mniejsze od danej wartości, to oznacza, że szukamy liczb, które znajdują się bliżej pewnego środka, czyli są w określonym, ograniczonym zakresie. Intuicyjnie więc rozwiązaniem jest przedział będący częścią wspólną przedziałów otrzymanych w wyniku rozbicia nierówności na dwie osobne nierówności, ponieważ część wspólna zawęża wynik (liczby muszą jednocześnie należeć do obu przedziałów).
Warunek większości (>,\ge)
Jeśli natomiast wymagamy, aby coś było większe, to oznacza, że szukamy liczb, które są dalej od tego środka, czyli poza pewnym ograniczonym zakresem. Wtedy rozwiązaniem są dwa oddzielne przedziały – suma przedziałów.

Powyższe zasady można z łatwością zapamiętać kojarząc obrócone o 90^\circ w prawo znaki nierówności z symbolami logicznymi \land (koniunkcja, “i”) oraz \lor (alternatywa, “lub”). Dokładniej, znaki mniejszości < oraz \le odpowiadają (po obróceniu) symbolowi \land, czyli “i” zatem bierzemy część wspólną przedziałów, a znaki większości >,\le odpowiadają (po obróceniu) symbolowi \lor, czyli “lub” zatem bierzemy sumę przedziałów.

To obracanie o 90^\circ można sobie skojarzyć z dokręcaniem śrubki.

Zauważmy, że nierówność:

(0)|ax+b|<c

możemy przekształcić do następującej postaci:

(0)\begin{aligned} |ax+b|<c&\iff \left|a\left(x+ \frac{b}{a}\right) \right|<c\\ &\iff |a| \left|x+ \frac{b}{a} \right|<c\\ & \iff \left|x- \left(-\frac{b}{a}\right) \right|<\frac{c}{|a|}\\ \end{aligned}

Taką nierówność możemy rozwiązać korzystając wprost z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, oczywiście wcześniej obliczając wartości wyrażeń \displaystyle - \frac{b}{a} oraz \displaystyle \frac{c}{|a|} :

Twierdzenie 1

O interpretacji geometrycznej nierówności liniowej z wartością bezwzględną

Niech b\in\mathbb{R} oraz c\ge 0. Wówczas rozwiązaniem nierówności:

|x-b|<c jest zbiór liczb których odległość na osi liczbowej od b jest mniejsza niż c, tj. przedział \left(c-b,c+b\right).
|x-b|\le c jest zbiór liczb których odległość na osi liczbowej od b jest mniejsza bądź równa c, tj. przedział \left[c-b,c+b\right].
|x-b|>c jest zbiór liczb których odległość na osi liczbowej od b jest większa niż c, tj. suma przedziałów \left(-\infty, c-b)\cup(c+b,\infty\right)
|x-b|\ge c jest zbiór liczb których odległość na osi liczbowej od b jest większa niż c, tj. suma przedziałów \left(-\infty, c-b]\cup[c+b,\infty\right).

Uwaga 2

Uwaga

Nierówności w których zamiast -b jest +b, przekształcamy do postaci:

(0)|x+b|<c\iff |x-(-b)|<c

i stosujemy powyższe twierdzenie.

Częściej jednak korzystamy z definicji wartości bezwzględnej i rozbijamy nierówność na dwie nierówności bez wartości bezwzględnej.

Twierdzenie 2

O nierówności z wartością bezwzględną

Dla dowolnego c\in\mathbb{R_+} oraz dowolnego wyrażenia algebraicznego w zachodzą następujące równoważności:

(0)\begin{aligned} \displaystyle |w|<c &\iff (w<-c\land w>c) \\ &\iff -c<w<c\\ &\iff w\in (-c,c) \end{aligned}(0)\begin{aligned} \displaystyle |w|\le c &\iff (w\le -c\land w\ge c) \\ &\iff -c\le w\le c\\ &\iff w\in [-c,c] \end{aligned}(0)\begin{aligned} \displaystyle |w|> c &\iff ( w> c \lor w< -c) \\ &\iff w\in (-\infty, -c)\cup (c,+\infty) \end{aligned}(0)\begin{aligned} \displaystyle |w|\ge c &\iff ( w\ge c \lor w\le -c) \\ &\iff w\in (-\infty, -c]\cup [c,+\infty) \end{aligned}

Przypadek 1 - |ax+b|<c

Pozbywamy się wartości bezwzględnej rozpatrując dwa przypadki:

(0)|ax+b|<c\iff ax+b<c\land ax+b>-c

Rozwiązując obie nierówności dostajemy dwa przedziały:

(0)\begin{align*} x&\in\left(-\infty,\frac{c-b}{a}\right)\\ x&\in\left(\frac{-c-b}{a},\infty\right) \end{align*}

Ponieważ mamy do czynienia ze znakiem mniejszości, rozwiązaniem nierówności jest część wspólna obu przedziałów:

(0)x\in\left(\frac{-c-b}{a},\frac{c-b}{a}\right)

Innymi słowy, rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór liczb których odległość od -\displaystyle\frac{b}{a} jest mniejsza od \displaystyle\frac{c}{a}.

Przypadek 2 - |ax+b|\le c
Pozbywamy się wartości bezwzględnej rozpatrując dwa przypadki:

(0)|ax+b|\le c\iff ax+b\le c\land ax+b\ge-c

Rozwiązując obie nierówności dostajemy dwa przedziały:

(0)\begin{align*} x&\in\left(-\infty,\frac{c-b}{a}\right]\\ x&\in\left[\frac{-c-b}{a},\infty\right) \end{align*}

Ponieważ mamy do czynienia ze znakiem mniejszości, rozwiązaniem nierówności jest część wspólna obu przedziałów:

(0)x\in\left[\frac{-c-b}{a},\frac{c-b}{a}\right]

Innymi słowy, rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór liczb których odległość od -\displaystyle\frac{b}{a} jest mniejsza bądź równa \displaystyle\frac{c}{a}.

Przypadek 3 - |ax+b|> c

Pozbywamy się wartości bezwzględnej rozpatrując dwa przypadki:

(0)|ax+b|>c\iff ax+b>c\lor ax+b<-c

Rozwiązując obie nierówności dostajemy dwa przedziały:

(0)\begin{align*} x&\in\left(\frac{c-b}{a},\infty\right)\\ x&\in\left(-\infty,\frac{-c-b}{a}\right) \end{align*}

Ponieważ mamy do czynienia ze znakiem większości, rozwiązaniem nierówności jest suma obu przedziałów:

(0)x\in\left(-\infty,\frac{-c-b}{a}\right)\cup \left(\frac{c-b}{a},\infty\right)

Innymi słowy, rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór liczb których odległość od -\displaystyle\frac{b}{a} jest większa od \displaystyle\frac{c}{a}.

Przypadek 4 - |ax+b|\ge c

Pozbywamy się wartości bezwzględnej rozpatrując dwa przypadki:

(0)|ax+b|\ge c\iff ax+b\ge c\lor ax+b\le-c

Rozwiązując obie nierówności dostajemy dwa przedziały:

(0)\begin{align*} x&\in\left[\frac{c-b}{a},\infty\right)\\ x&\in\left(-\infty,\frac{-c-b}{a}\right] \end{align*}

Ponieważ mamy do czynienia ze znakiem większości, rozwiązaniem nierówności jest suma obu przedziałów:

(0)x\in\left(-\infty,\frac{-c-b}{a}\right]\cup \left[\frac{c-b}{a},\infty\right)

Innymi słowy, rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór liczb których odległość od -\displaystyle\frac{b}{a} jest większa bądź równa \displaystyle\frac{c}{a}.

Uwaga 3

Uwaga

Nie ma potrzeby zapamiętywania wyprowadzonych wyżej wzorów! Należy jednak zapamiętać samą metodologię która do tych wzorów prowadzi i wykorzystać ją już przy rozwiązywaniu konkretnych nierówności.

Uwaga 4

Uwaga

Nierówności mogą mieć więcej niż jedną wartość bezwzględną, np. |x+4|+|x-1|\ge6. Wartość bezwzględna może też być wewnątrz innej wartości wewnętrznej.

W takim wypadku rozbijamy dziedzinę nierówności na 3 przedziały w których możemy jasno określić znak poszczególnych wyrażeń po wartością bezwzględną i tym samym pozbyć się modułów.

Przykład 1

Przykład

Jeżeli nierówność przyjmuje postać |x-a|\le c to środkiem przedziału jest a a końcami są a-c oraz a+c: [a-c,a+c].

Przykład 2

Przykład

(0)\begin{aligned} |x-3|\le 5 &\iff x-3\le 5 \land x-3\ge -5\\ &\iff x\le 8 \land x\ge -2\\ &\iff x\in[-2,8] \end{aligned}
(0)\begin{aligned} |x+7|>2&\iff x+7>2\lor x+7 <-2\\ &\iff x>-5 \lor x<-9\\ &\iff x\in(-\infty,-9)\cup (-5,+\infty) \end{aligned}
(0)|x+12|\le -1 \text{ - sprzeczność}
nieskończenie wiele rozwiązań - moduł jest zawsze nieujemny.
(0)|12-x|>-4
(0)|12-4x|\le 0\iff |12-4x|=0\iff 12-4x=0\iff x=3
(0)|5x+20|>0 \iff |5x+20|\neq 0\iff x\neq -5

Twierdzenie o nierówności z wartością bezwzględną