Zauważ, że z dwóch jednakowych trójkątów o podstawie a oraz wysokości h opuszczonej na tę podstawę można zbudować równoległobok o podstawie a i wysokości h. Ponieważ pole tego równoległoboku wynosi a \cdot h, to pole jednego trójkąta musi wynosić

(0)P= \frac{a \cdot h}{2}

Twierdzenie 1

Wzór na pole trójkąta z wysokością

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku a (odp. b, c) oraz wysokości h_a (odp. h_b,h_c) opuszczonej na ten bok:

(0)P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}

Twierdzenie 2

Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch sąsiednich boków a i b oraz sinusa kąta \gamma między nimi:

(0)P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,

Twierdzenie 3

Wzór Herona

Pole trójkąta o bokach długości a,b,c wyraża się wzorem:

(0)P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

gdzie p jest połową obwodu tego trójkąta:

(0)p=\frac{a+b+c}{2}

Twierdzenie 4

Wzór na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego

Pole trójkąta o bokach długości a,b,c i promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi:

(0)P= \frac{a+b+c}{2} \cdot r

Twierdzenie 5

Wzór na pole trójkąta z promieniem okręgu opisanego

Pole trójkąta o bokach długości a,b,c, kątach \alpha,\beta,\gamma i promieniu R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:

(0)\begin{aligned} P= \frac{abc}{4R}\\ \end{aligned}

oraz

(0)P=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma

Zbierając wszystkie powyższe wzory na pole trójkąta, otrzymujemy następujące twierdzenie:

Twierdzenie 6

O polu trójkąta

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku a (odp. b, c) oraz wysokości h_a (odp. h_b,h_c) opuszczonej na ten bok:

(0)P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}

Dodatkowo:

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch sąsiednich boków a i b oraz sinusa kąta \gamma między nimi:
(0)P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,
gdzie \gamma to miara kąta pomiędzy bokami o długości a i b
Pole trójkąta można wyrazić za pomocą wzoru Herona:
(0)P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
gdzie p jest połową obwodu tego trójkąta:
(0)p=\frac{a+b+c}{2}
Pole trójkąta o bokach długości a,b,c i promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi:
(0)P= \frac{a+b+c}{2} \cdot r
Pole trójkąta o kątach \alpha,\beta,\gamma i promieniu R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:
(0)P=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
Pole trójkąta o bokach długości a,b,c i promieniu R okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:
(0)P= \frac{abc}{4R}

Twierdzenie 7

Wzór na pole trójkąta prostokątnego

Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych a i b.

Twierdzenie 8

Wzór na pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wyraża się wzorem:

(0)P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Twierdzenie o polu trójkąta