Wartość bezwzględna (moduł) wyraża odległość liczby od zera na osi liczbowej, niezależnie od jej znaku. Dlatego równania, które zawierają wartość bezwzględną, często wymagają zastosowania szczególnych metod rozwiązania, które uwzględniają obie możliwości: pozytywną i negatywną wartość wyrażenia wewnątrz modułu.
Ogólnie, równanie z wartością bezwzględną możemy zapisać:

(0)|ax+b|=c,

gdzie a,b\in\mathbb{R} oraz c\ge0. Rozwiązywanie tego typu równania polega na rozbiciu go na dwa przypadki:

wyrażenie pod modułem jest nieujemne (ax+b>0) - wówczas możemy pominąć moduł i otrzymujemy równanie liniowe:
(0)ax+b=c
wyrażenie pod modułem jest ujemne (ax+b<0) - wówczas usuwamy moduł i mnożymy wyrażenie pod modułem przez -1. W rezultacie ponownie otrzymujemy równanie liniowe:
(0)-(ax+b)=c\Rightarrow ax=-c-b

Zakładając, że a\neq0, możemy zapisać dwa rozwiązania:

(0)\begin{align*} x_1&=\frac{c-b}{a}\\ x_2&=\frac{-c-b}{a} \end{align*}

Twierdzenie 1

O równaniu z wartością bezwzględną

Dla dowolnego c\in\mathbb{R_+} i dowolnego wyrażenia algebraicznego w:

(0)|w|=c \iff (w=c \vee w=-c)

Uwaga 1

Uwaga

Równania mogą mieć więcej niż jedną wartość bezwzględną, np. |x+4|+|x-1|=6

Przykład 1

Przykład

Równanie
(0)|x-5|=-2
jest sprzeczne bo wartość bezwzględna nie może być ujemna.
Jedno równanie → dwa równania
(0)|x|=4\iff x=4\lor x=-4
Jedno równanie → dwa równania
(0)\begin{aligned} |x-7|=6&\iff x-7=6\lor x-7=-6\\ &\iff x=13 \lor x=1 \end{aligned}
Wartość bezwzględna jest równa zero tylko wtedy gdy wyrażenie pod nią jest równe 0.
(0)|x-11|=0 \iff x-11=0\iff x=11
Przekształcamy i rozwiązujemy:
(0)\begin{aligned} |4x+1|-5=0&\iff |4x+1|=5\\ &\iff 4x+1=5\lor 4x+1=-5\\ &\iff 4x=4 \lor4x=-6\\ &\iff x= 1\lor x=- \frac{3}{2} \end{aligned}
Przekształcamy i rozwiązujemy:
(0)\begin{aligned} -3\left|5(x+2)+4\right|=-9 &\iff |5(x+2)+4|=3\\ &\iff 5(x+2)+4=3\lor 5(x+2)+4=-3\\ &\iff x+2=- \frac{1}{5}\lor x+2=- \frac{7}{5}\\ &\iff x=-2 \frac{1}{5}\lor x=-3 \frac{2}{5} \end{aligned}
|a-b|=|b-a|:
(0)\begin{aligned} 4|x-3|+6|3-x|=10&\iff 4|x-3|+6|x-3|=10\\ &\iff 10|x-3|=10\\ &\iff |x-3|=1\\ &\iff x=4\lor x=2 \end{aligned}

Twierdzenie o równaniu z wartością bezwzględną