Wiemy już, że współczynnik kierunkowy prostej zależy od kąta nachylenia tej prostej do osi OX:

(0)a=\tg \alpha

Żeby dwie proste były równoległe, nie mogą się przecinać, czyli ich kąt nachylenia do osi OX musi być taki sam, a tym samym współczynniki kierunkowe muszą być równe:

Twierdzenie 1

Równoległość oraz prostopadłość prostych

Dwie proste dane równaniami y=a_1x+b_1 oraz y=a_2x+b_2 są:

równoległe, jeżeli a_1=a_2 (ich współczynniki kierunkowe są równe)
prostopadłe, jeżeli a_1\cdot a_2=-1.

Niech dane będą dwie proste prostopadłe:

Mamy:

(0)\tg\beta=\tg\left(90^\circ +\alpha\right)=-\ctg\alpha=- \frac{1}{\tg\alpha}

Zatem

(0)\tg\beta=-\frac{1}{\tg\alpha}\Rightarrow\tg\beta \cdot \tg\alpha=-1\Rightarrow a_1 \cdot a_2=-1

Twierdzenie o równoległości i prostopadłości prostych