Definicja 1

Ułamek właściwy

Ułamkiem właściwym nazywamy ułamek zwykły \displaystyle \frac{a}{b} w którym licznik jest mniejszy od mianownika, tj. a< b.

Definicja 2

Ułamek niewłaściwy

Ułamkiem niewłaściwym nazywamy ułamek zwykły \displaystyle \frac{a}{b} w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, tj. a\ge b.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że ułamki właściwe to liczby zawsze mniejsze o 1, a ułamki niewłaściwe - większe bądź równe 1.

Przykład 1

Przykład

Ułamki właściwe: \displaystyle \frac{2}{3}, \frac{7}{17}, \frac{8}{9}
Ułamki niewłaściwe: \displaystyle \frac{5}{4}, \frac{7}{7}, \frac{15}{2}, \frac{21}{20} , \frac{16}{8}

Ułamki niewłaściwe i liczby mieszane

Każdy ułamek niewłaściwy można zamienić na liczbę mieszaną (lub naturalną), i odwrotnie, każdą liczbę mieszaną można zamienić na ułamek niewłaściwy.

Zamiana liczby ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną (lub naturalną), tzw. wyciąganie całości.

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, należy podzielić jego licznik przez mianownik. W ten sposób otrzymujemy dwie części liczby mieszanej:

Część całkowita – iloraz z dzielenia licznika przez mianownik.
Część ułamkowa – licznik to reszta z dzielenia licznika przez mianownik, a mianownik pozostaje taki sam jak w ułamku niewłaściwym. Jeżeli reszta wynosi 0, to nie ma części ułamkowej i otrzymujemy liczbę naturalną.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, należy:

Pomnożyć część całkowitą przez mianownik części ułamkowej.
Dodać licznik części ułamkowej do do wyniku z punktu 1.
Mianownik pozostaje bez zmian.

Wynikiem jest ułamek niewłaściwy, którego licznik to suma z punktu 2, a mianownik jest taki sam, co w części ułamkowej liczby mieszanej.

(0) \textcolor{lightblue}{a}\frac{\textcolor{green}{b}}{\textcolor{brown}{c}} =\frac{\textcolor{lightblue}{a} \cdot \textcolor{brown}{c} +\textcolor{green}{b} }{\textcolor{brown}{c}}