Definicja 1

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję f:(0,\infty)\to\mathbb{R} postaci:

(0)f(x)=\log_ax

gdzie a>0 i a\neq 1. Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa logarytmiczna.

Twierdzenie 1

Dla funkcji logarytmicznej f(x)=\log_ax zachodzą następujące własności:

Dziedziną funkcji jest przedział (0,\infty),
Zbiorem wartości funkcji jest \mathbb{R}
Funkcja jest rosnąca dla a>1 oraz malejąca dla a\in(0,1), tj. dla x_1,x_2\in\mathbb{R_+} zachodzi:
(0)\begin{aligned} a\in (1,+\infty)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1>x_2\\ a\in (0,1)&\Rightarrow \log_a x_1 <\log_a x_2\iff x_1<x_2 \end{aligned}
Funkcja posiada dokładnie jedno miejsce zerowe x=1
Funkcja jest różnowartościowa, tj. dla dowolnych a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right) i x_1,x_2\in\mathbb{R} zachodzi:
(0)\log_a x_1=\log_a x_2 \iff x_1=x_2
Wykres funkcji leży w I i IV ćwiartce układu współrzędnych
Jeżeli a>1 (a\in(0,1)) to funkcja przyjmuje wartości ujemne (dodatnie) w przedziale (0,1) i dodatnie (ujemne) w przedziale (1,+\infty).