Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia

Ten typ obejmuje zadania, w których musimy wykazać, że liczba zapisana za pomocą wyrażenia algebraicznego z niewiadomą $n$n, spełniającą określone warunki (najczęściej $n$n jest parzysta / nieparzysta lub $n$n daje określoną resztę z dzielenia),

• jest podzielna przez daną liczbę, albo

• daje określoną resztę z dzielenia przez pewną liczbę.

Aby to wykazać, najczęściej korzystamy z następujących zapisów:

• liczba parzysta ma postać $n=2k$n=2k,

• liczba nieparzysta ma postać $n=2k+1$n=2k+1,

• liczba o reszcie $r$r z dzielenia przez $a$a ma postać $n=ak+r$n=ak+r,

gdzie $k\in\mathbb{Z}$k\in\mathbb{Z}.

Po podstawieniu takiego wyrażenia do wzoru przekształcamy go algebraicznie (często korzystając ze ), aby otrzymać postać, która jednoznacznie wskazuje na podzielność — zazwyczaj sprowadzając wyrażenie do iloczynu danej liczby i liczby całkowitej (oraz ewentualnie dodatkowej reszty).

Często korzystamy również z oraz faktu, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $6$6, a czterech kolejnych liczb - przez $24$24.

W tym wariancie musimy udowodnić podzielność danego wyrażenia z niewiadomą $n$n przez określoną liczbę naturalną.

Często musimy coś wyciągnąć przed nawias, potencjalnie korzystając z .

W tym wariancie musimy wykazać, że reszta z dzielenia danego wyrażenia przez określoną liczbę jest równa wskazanej wartości.

W tym wariancie wyrażenie zawiera sumę, której składniki tworzą . Rozwiązanie sprowadza się zatem do skorzystania ze i przekształceniu wyrażenia w taki sposób, aby móc wyciągnąć szukany dzielnik przed nawias.