Zliczanie liczb spełniających określone warunki

Ten typ obejmuje zadania, w których liczymy liczby naturalne (a także kody i pary liczb) spełniające warunki dotyczące cyfr: dozwolonych cyfr, parzystości, podzielności, powtórzeń lub zależności między cyframi. Podstawowym narzędziem jest : jeśli liczbę tworzymy w $k$k krokach, a w $i$i-tym kroku mamy $n_i$n_i możliwości niezależnie od wcześniejszych wyborów, to wszystkich liczb jest

Gdy warunki zmuszają do rozpatrzenia kilku wykluczających się przypadków, stosujemy — liczby z poszczególnych przypadków sumujemy. Warunki podzielności zamieniamy na warunki dla ostatnich cyfr zgodnie z : liczba parzysta kończy się cyfrą $0,\ 2,\ 4,\ 6$0,\ 2,\ 4,\ 6 lub $8$8, podzielna przez $5$5 — cyfrą $0$0 lub $5$5, a podzielna przez $25$25 — końcówką $00,\ 25,\ 50$00,\ 25,\ 50 lub $75$75.

Zadania, w których tymi samymi regułami liczymy wybory w sytuacjach z życia codziennego, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie każdy warunek dotyczy jednej pozycji: dozwolonych cyfr, parzystości lub podzielności (ostatnia cyfra) albo ograniczenia „większa od…” (pierwsza cyfra). Dla każdej pozycji ustalamy, ile cyfr spełnia warunek, i mnożymy te liczby zgodnie z , zaczynając od pozycji z najmocniejszymi ograniczeniami.

W tym zadaniu wśród dozwolonych cyfr jest zero, które nie może stać na pierwszym miejscu, więc pierwsza cyfra ma mniej możliwości niż pozostałe.

Tutaj liczba ma być nieparzysta i podzielna przez $25$25, więc warunek dotyczy dwóch ostatnich cyfr jednocześnie — wybieramy je razem jako jedną z możliwych końcówek.

Tutaj jedna cyfra jest wyznaczona przez inną, więc wybieramy tylko tę, od której zależy druga — tak, aby wyznaczona cyfra nadal była cyfrą.

W tym zadaniu pytamy nie o liczbę takich liczb, lecz o ich sumę, więc regułą mnożenia liczymy, ile razy każda cyfra stoi na każdej pozycji, i sumujemy osobno setki, dziesiątki i jedności.

W tym wariancie cyfry nie mogą się powtarzać, więc w każdym kolejnym kroku mamy o jedną możliwość mniej. Gdy $k$k pozycji wypełniamy różnymi cyframi spośród $n$n dostępnych, liczba możliwości jest równa:

W tym zadaniu cyfry wybieramy bez powtórzeń z podanego zbioru, a warunek „większa od…” ogranicza tylko pierwszą cyfrę, więc od niej zaczynamy.

Tutaj wśród dostępnych cyfr jest zero, więc najpierw wybieramy pierwszą cyfrę spośród niezerowych, a zero wraca do puli przy wyborze drugiej.

Tutaj każda z czterech podanych cyfr występuje w kodzie dokładnie raz, więc liczymy ustawienia wszystkich cyfr w ciąg — w każdym kolejnym kroku zostaje o jedną cyfrę mniej.

W tym wariancie pewna cyfra ma wystąpić dokładnie raz. Wybieramy jej pozycję, a pozostałe pozycje wypełniamy innymi cyframi. Jeśli liczba możliwości na pozostałych pozycjach zależy od tej pozycji — bo pierwsza cyfra nie może być zerem, a ostatnia musi mieć odpowiednią parzystość — każdą pozycję traktujemy jako osobny przypadek, a wyniki dodajemy zgodnie z .

W tym zadaniu zero ma wystąpić dokładnie raz, a liczba ma być parzysta, więc możliwe położenia zera dają dwa przypadki o różnej liczbie możliwości, które dodajemy.

Tutaj warunki są podobne, ale liczba ma być nieparzysta, więc zero nie może być ani ostatnią, ani pierwszą cyfrą — zostaje tylko jeden przypadek.

Tutaj dokładnie raz mają wystąpić cyfra $7$7 i jedna cyfra parzysta, a zero jest wykluczone, więc liczba możliwości nie zależy od położenia tych cyfr i wybieramy ich pozycje bez rozbijania na przypadki.

W tym wariancie suma lub iloczyn cyfr ma podaną wartość. Rozkładamy tę wartość na cyfry — np. iloczyn $6$6 dają cyfry $6,\ 1,\ 1$6,\ 1,\ 1 albo $1,\ 2,\ 3$1,\ 2,\ 3 — i dla każdego rozkładu liczymy, na ile sposobów można te cyfry ustawić. Rozkłady są rozłączne, więc wyniki dodajemy zgodnie z ; gdy liczb jest niewiele, możemy je po prostu wypisać.

W tym zadaniu ustalona jest mała suma cyfr, więc większość cyfr to zera, a pierwsza cyfra musi być niezerowa — to ogranicza liczbę ustawień w każdym przypadku.

Tutaj ustalony jest iloczyn cyfr, więc zero nie może wystąpić, a przypadki wyznaczają rozkłady iloczynu na cyfry.

W tym wariancie kilka cyfr ma tworzyć ciąg rosnący lub malejący. Wystarczy wtedy wybrać, które cyfry wystąpią, bo dla wybranego zbioru cyfr jest tylko jedna dobra kolejność. Takie zbiory wypisujemy systematycznie, np. zaczynając od największej cyfry, a pozostałe pozycje wypełniamy zgodnie z .

W tym wariancie liczymy pary $(a,b)$(a,b) liczb wybranych z jednego lub dwóch zbiorów. Liczbę par obliczamy z , dzieląc liczby na parzyste i nieparzyste: iloczyn $a\cdot b$a\cdot b jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Zadania, w których tak policzone wyniki losowania służą do obliczenia prawdopodobieństwa, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu liczby pochodzą z dwóch różnych zbiorów, a iloczyn ma być nieparzysty, więc z każdego zbioru bierzemy tylko liczby nieparzyste.

Tutaj obie liczby losujemy z jednego zbioru bez zwracania, więc druga ma o jedną możliwość mniej. Iloczyn ma być parzysty, dlatego wygodnie liczyć przez : od wszystkich par odejmujemy pary dwóch liczb nieparzystych.

W tym wariancie liczymy wszystkie liczby naturalne z pewnego zakresu. Liczb całkowitych od $a$a do $b$b jest $b-a+1$b-a+1. Możemy też podzielić zakres na pełne bloki, np. wszystkie liczby o danej cyfrze tysięcy, policzyć je i dodać pozostałe liczby, albo od liczby wszystkich liczb mniejszych od granicy odjąć te, które mają za mało cyfr.