Ten typ obejmuje zadania, w których należy udowodnić zadaną . Nierówność może zawierać jedną lub kilka niewiadomych, występujących w różnych potęgach.
Rozwiązanie zwykle polega na przekształceniu nierówności zgodnie z : przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę, a następnie odpowiednim uporządkowaniu wyrażenia — np. przez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias lub zastosowanie . W efekcie nierówność często sprowadza się do jednej z dwóch wygodnych postaci:
postaci iloczynowej, z której łatwo odczytać znak całego wyrażenia (np. jako iloczynu czynników dodatnich),
postaci sumy składników nieujemnych, przy czym w przypadku nierówności ostrej zazwyczaj z założenia wynika, że co najmniej jeden ze składników jest dodatni.
Warto też pamiętać o innych technikach wykorzystywanych w dowodzeniu nierówności:
jeżeli w założeniu zadania pojawiają się nierówności, to nierzadko kluczem do rozwiązania jest ich odpowiednie łączenie, np. przez dodawanie stronami lub wykonywanie prostych przekształceń prowadzących do nierówności, którą chcemy wykazać;
gdy nierówność zawiera dwie zmienne występujące w drugiej potędze, wygodnym podejściem bywa potraktowanie jednej z nich jako parametru i rozpatrzenie całej nierówności jako względem drugiej zmiennej.
Jedna niewiadoma
W tym wariancie mamy do czynienia z nierównością z jedną niewiadomą, zwykle w drugiej potędze.
Dwie niewiadome
W tym wariancie mamy do czynienia z nierównością z dwiema niewiadomymi.
Nierówność pierwszego stopnia
W tym wariancie niewiadome występują w pierwszej potędze.
Nierówność drugiego stopnia
W tym wariancie niewiadome występują w drugiej potędze.
Zacznijmy od podstawowego przykładu w którym nierówność daje się zapisać jako kwadrat sumy bądź różnicy:
Podobny przykład, tym razem z niewiadomą występującą w mianowniku - mnożymy nierówność stronami przez wyrażenie o znanym znaku (dodatnim lub ujemnym).
W tym przykładzie nierówność daje się przekształcić do postaci sumy składników nieujemnych. Jeżeli mamy do czynienia z nierównością ostrą, to dodatniość wyrażenia wynika zwykle wprost z założenia (jeden ze składników sumy jest dodatni).
Nierówność trzeciego stopnia
W tym wariancie niewiadome występują w trzeciej potędze. Zwykle nierówność daje się sprowadzić do postaci iloczynowej, w której jeden z czynników to kwadrat sumy bądź różnicy, a pozostały czynnik jest zawsze dodatni / ujemny.
Nierówność czwartego stopnia
W tym wariancie niewiadome występują w czwartej potędze.
Zazwyczaj po sprowadzeniu nierówności do postaci iloczynowej dodatniość jednego z czynników uzasadniamy, traktując go jako funkcję kwadratową pewnej zmiennej z parametrem i wykazując, że jej wyróżnik \Delta jest niedodatni (lub ujemny w przypadku nierówności ostrych).
Trzy niewiadome
W tym wariancie mamy do czynienia z nierównością z trzema niewiadomymi.
Nierówność pierwszego stopnia
W tym przykładzie udowodnienie końcowej nierówności wymaga dodania stronami nierówności z założenia.
Nierówność drugiego stopnia
W tym przykładzie wykorzystujemy .