Dowodzenie nierówności

Ten typ obejmuje zadania, w których wykazujemy, że jest prawdziwa dla wszystkich liczb spełniających założenia — np. dla wszystkich liczb rzeczywistych albo tylko dla liczb dodatnich. Najczęściej przekształcamy ją równoważnie, zgodnie z , aż otrzymamy nierówność, której prawdziwość widać od razu. Kluczowy jest fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:

Wyrażenia zapisujemy jako kwadraty lub sumy kwadratów za pomocą . Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, a gdy choć jeden jej składnik jest dodatni — dodatnia.

Zadania, w których podobnymi metodami dowodzimy równości, zostały zebrane w osobnym typie , a nierówności z poziomu rozszerzonego, np. trzeciego i czwartego stopnia — w typie .

W tym wariancie po usunięciu ułamków i nawiasów oraz przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę otrzymujemy kwadrat różnicy. Korzystamy ze :

Nierówność nieostra $(u-v)^2\ge 0$(u-v)^2\ge 0 jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, a ostra $(u-v)^2>0$(u-v)^2>0 — gdy z założenia $u\neq v$u\neq v.

W tym zadaniu porównujemy kwadrat średniej arytmetycznej dwóch liczb ze średnią arytmetyczną ich kwadratów; nierówność jest nieostra, więc zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Tutaj nierówność jest ostra, a po lewej stronie trzeba najpierw wymnożyć dwa nawiasy. Po uporządkowaniu wszystkie współczynniki dzielą się przez tę samą liczbę, więc dzielimy przez nią obie strony.

Tutaj w założeniu jedna zmienna jest porównana z podwojoną drugą, więc po uporządkowaniu otrzymujemy kwadrat różnicy, w którym przy jednej ze zmiennych stoi współczynnik.

W tym wariancie wyrażenie po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę nie jest od razu kwadratem, ale da się je zapisać jako sumę kwadratów z dodatnimi współczynnikami. Rozbijamy wyrazy i uzupełniamy je do pełnych kwadratów, korzystając ze :

Suma kwadratów jest nieujemna. Gdy nierówność jest ostra, z założenia, np. $x\neq 1$x\neq 1, wynika, że co najmniej jeden kwadrat jest dodatni, więc cała suma jest dodatnia.

W tym zadaniu kwadraty uzupełniamy liczbami, na które rozbijamy wyraz wolny. Założenie dotyczy tylko jednej zmiennej i z niego wynika, że jeden z kwadratów jest dodatni.

Tutaj nierówność jest nieostra, a współczynnik przy kwadracie jednej ze zmiennych rozbijamy na dwie części tak, aby jedna z nich dopełniła kwadrat różnicy.

Tutaj po rozbiciu wyrazów otrzymujemy sumę kilku składników nieujemnych, a z założenia, że jedna ze zmiennych jest różna od zera, wynika, że jeden z nich jest dodatni.

Tutaj zmienne występują w potęgach do czwartej włącznie, więc wyrazy grupujemy osobno dla każdej zmiennej i z każdej grupy wyłączamy przed nawias kwadrat zmiennej.

W tym wariancie nierówność z dwiema zmiennymi traktujemy jako nierówność kwadratową z niewiadomą $t$t i parametrem $y$y — współczynniki trójmianu po lewej stronie zależą wtedy od $y$y. Korzystamy z :

Ta nierówność zachodzi dla każdej liczby $t$t, gdy $a>0$a>0 i $\Delta<0$\Delta<0; gdy $\Delta=0$\Delta=0, trójmian jest nieujemny i zeruje się w jednym punkcie. Wyróżnik zależy od parametru i zwykle ma postać $-k(y-p)^2$-k(y-p)^2 z $k>0$k>0, więc jest ujemny dla $y\neq p$y\neq p, a przypadek $y=p$y=p rozpatrujemy osobno. Zadania tego wariantu można też rozwiązać rozkładem na sumę kwadratów. Zadania, w których rozwiązujemy nierówności kwadratowe, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu wyróżnik trójmianu zależy od drugiej zmiennej, a założenie wyklucza tę jej wartość, dla której wyróżnik byłby równy zeru.

Tutaj założenie porównuje obie zmienne, więc przypadek, w którym wyróżnik jest równy zeru, rozpatrujemy osobno.

W tym wariancie zmienne występują w mianownikach, a z założenia wiemy, że są dodatnie. Zgodnie z mnożymy obie strony przez wspólny mianownik — wyrażenie dodatnie, więc zwrot nierówności się nie zmienia:

Ta równoważność zachodzi dla $w>0$w>0, np. dla $w=ab(a+b)$w=ab(a+b), gdy $a>0$a>0 i $b>0$b>0. Po wymnożeniu i uporządkowaniu zwykle otrzymujemy kwadrat różnicy, np. $(a-b)^2\ge 0$(a-b)^2\ge 0. Zamiast mnożyć, możemy też przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzić je do wspólnego mianownika — wtedy oceniamy znaki licznika i mianownika.

W tym zadaniu jest jedna zmienna — dodatnia z założenia — i występuje ona w mianowniku, więc mnożymy przez nią obie strony bez zmiany zwrotu nierówności.

Tutaj lewa strona jest iloczynem sumy dwóch liczb i sumy ich odwrotności — po wymnożeniu nawiasów mnożymy jeszcze obie strony przez dodatni iloczyn tych liczb.

Tutaj po pomnożeniu przez dodatni iloczyn mianowników nie otrzymujemy kwadratu — o prawdziwości nierówności decyduje założenie porównujące dwie z trzech dodatnich zmiennych.

W tym wariancie przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy otrzymane wyrażenie na czynniki — grupując wyrazy, wyłączając wspólny czynnik przed nawias albo korzystając ze . Znak iloczynu ustalamy ze znaków czynników, które wynikają z założeń:

W tym zadaniu założenie ogranicza obie zmienne z góry tą samą liczbą, a wyrazy da się pogrupować w iloczyn dwóch czynników, których znaki wynikają z założenia.

Tutaj obie zmienne są nieujemne, a nierówność jest trzeciego stopnia. Po rozkładzie jednym z czynników jest kwadrat różnicy — jest nieujemny, więc nie zmienia znaku iloczynu i wystarczy zbadać pozostały czynnik.

Tutaj wyrażenie jest już iloczynem, więc wystarczy ustalić znak każdego czynnika dla liczb spełniających założenie.

W tym wariancie założenie składa się z jednej lub kilku , z których budujemy tezę. Nierówności o tym samym zwrocie możemy dodawać stronami:

W tym zadaniu założenie składa się z dwóch nierówności z trzema zmiennymi — dodajemy je stronami i porządkujemy otrzymaną nierówność.

Tutaj najpierw przekształcamy tezę do prostszej postaci, a potem korzystamy z podanego w założeniu uporządkowania trzech liczb dodatnich.

Tutaj założenie porównuje jedną zmienną z wielokrotnością drugiej, a obie zmienne są dodatnie. Wyrażenie szacujemy od dołu, zastępując zmienną jej ograniczeniem — wyrażenie rośnie razem z tą zmienną.

W tym wariancie założeniem jest równość, np. $x+y+z=0$x+y+z=0, a tezę dowodzimy, wstawiając ją do odpowiedniego wzoru. Przydaje się :

Z tego wzoru wyznaczamy szukaną sumę iloczynów i oceniamy jej znak, wiedząc, że suma kwadratów jest nieujemna. Równość z założenia możemy też wykorzystać do wyznaczenia jednej zmiennej, np. $z=-x-y$z=-x-y, i podstawić ją do tezy.