Szereg geometryczny

Ten typ obejmuje zadania, w których sumujemy wszystkie wyrazy nieskończonego , czyli obliczamy sumę $a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots$a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots albo wyznaczamy jego wyrazy ze znanej sumy. Korzystamy z : szereg o ilorazie $q$q i pierwszym wyrazie $a_1\neq 0$a_1\neq 0 jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy $|q|<1$|q|<1, i wtedy jego suma jest równa:

Warunek $|q|<1$|q|<1 sprawdzamy za każdym razem — wartości ilorazu, które go nie spełniają, odrzucamy. Pojedyncze wyrazy zapisujemy ze $a_n=a_1q^{n-1}$a_n=a_1q^{n-1}. Zadania o sumie skończenie wielu początkowych wyrazów zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie pierwszy wyraz i iloraz są dane albo łatwo je odczytać — z kolejnych wyrazów lub ze wzoru określającego ciąg. Sprawdzamy, że $|q|<1$|q|<1, i obliczamy sumę ze wzoru $\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}$\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}.

W tym zadaniu pierwszy wyraz i iloraz są dane wprost, a porównujemy dwa szeregi o przeciwnych ilorazach — obliczamy obie sumy, a potem ich różnicę.

Tutaj ciąg określono rekurencyjnie — iloraz odczytujemy ze wzoru, który wiąże każdy wyraz z poprzednim.

Tutaj znamy tylko kilka początkowych wyrazów z pierwiastkami, więc iloraz obliczamy, dzieląc wyraz przez poprzedni, a sumę zapisujemy bez niewymierności w mianowniku.

W tym wariancie znamy sumę szeregu oraz iloraz albo zależność między pierwszym wyrazem a ilorazem. Podstawiamy dane do wzoru $\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}$\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}, otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą i sprawdzamy, czy iloraz spełnia warunek $|q|<1$|q|<1.

W tym zadaniu znamy iloraz, więc z równania od razu obliczamy pierwszy wyraz.

Tutaj iloraz jest wielokrotnością pierwszego wyrazu, więc zapisujemy go za pomocą $a_1$a_1 i rozwiązujemy .

W tym wariancie mamy dwa warunki, np. sumę szeregu i sumę kilku początkowych wyrazów albo zależności między wyrazami. Każdy warunek zapisujemy za pomocą $a_1$a_1 i $q$q — sumę szeregu ze wzoru $\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}$\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}, a pojedyncze wyrazy ze wzoru ogólnego — i rozwiązujemy układ równań. Z otrzymanych ilorazów zostawiamy tylko te, dla których $|q|<1$|q|<1.

W tym zadaniu znamy sumę trzech początkowych wyrazów i sumę szeregu. Po wyznaczeniu $a_1$a_1 i $q$q rozwiązujemy jeszcze nierówność z wartością bezwzględną, w której niewiadomą jest liczba wyrazów $n$n.

Tutaj znamy sumę dwóch wyrazów i sumę ich kwadratów, więc po podstawieniu otrzymujemy . Iloraz może mieć jeden z dwóch znaków, więc rozważamy oba przypadki.

W tym wariancie sumujemy tylko niektóre wyrazy ciągu, np. o numerach nieparzystych, albo potęgi wszystkich wyrazów. Korzystamy z tego, że takie liczby też tworzą ciąg geometryczny, a jego iloraz jest potęgą $q$q. Na przykład wyrazy o numerach nieparzystych mają iloraz $q^2$q^2:

Taki szereg jest zbieżny, gdy $|q|<1$|q|<1. Każdą podaną sumę zapisujemy z odpowiedniego wzoru i rozwiązujemy otrzymany układ równań.

W tym zadaniu znamy sumę wyrazów o numerach nieparzystych i zależność między trzema pierwszymi wyrazami — z niej najpierw wyznaczamy iloraz.

Tutaj porównujemy sumę wyrazów o numerach nieparzystych z sumą wyrazów o numerach parzystych — drugi z tych szeregów zaczyna się od $a_2$a_2.

Tutaj oprócz sumy szeregu znamy sumę sześcianów wszystkich wyrazów. Sześciany tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q^3$q^3, a otrzymany układ upraszczamy .

W tym wariancie wyrazy szeregu zależą od zmiennej $x$x. Obliczamy iloraz $\displaystyle q=\frac{a_2}{a_1}$\displaystyle q=\frac{a_2}{a_1} jako wyrażenie z $x$x i rozwiązujemy nierówność $|q|<1$|q|<1 — z wyznacza ona wartości $x$x, dla których szereg jest zbieżny.

W tym zadaniu wszystkie wyrazy są dodatnie, więc nierówność z wartością bezwzględną zamienia się w $0<q<1$0<q<1, a szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która ją spełnia.

Tutaj oprócz zbieżności znamy wartość sumy, więc rozwiązujemy jeszcze równanie wymierne i odrzucamy rozwiązanie, dla którego szereg nie jest zbieżny.

W tym wariancie sumujemy pola lub obwody nieskończenie wielu figur, z których każda powstaje z poprzedniej w ten sam sposób. Obliczamy wielkość dla pierwszej figury i ustalamy, ile razy zmienia się ona przy przejściu do następnej — to iloraz $q$q, a sumę obliczamy ze wzoru $\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}$\displaystyle S=\frac{a_1}{1-q}. Gdy wymiary figury zmniejszają się $k$k razy, jej pole zmniejsza się $k^2$k^2 razy.

W tym zadaniu promienie kół są podane wzorem, więc wzór ogólny ciągu pól otrzymujemy wprost ze .

Tutaj sumujemy pola pierścieni między okręgami danymi równaniami — kwadraty promieni odczytujemy z równań okręgów, a pole pierścienia jest różnicą pól dwóch kół.

Tutaj bok kolejnego kwadratu obliczamy z , a sumę obwodów otrzymujemy, mnożąc sumę długości boków przez $4$4.

W tym wariancie w zadaniu występuje też , a niektóre wyrazy obu ciągów są sobie równe. Wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy ze $a_n=a_1+(n-1)r$a_n=a_1+(n-1)r, a z równości wyrazów przechodzimy od jednego ciągu do drugiego. Zadania, w których te same liczby tworzą ciąg arytmetyczny i geometryczny, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu z warunków dla ciągu arytmetycznego wyznaczamy jego różnicę — ciąg jest rosnący, więc wybieramy dodatnią — a dwa jego wyrazy dają pierwszy wyraz i iloraz szeregu.

Tutaj kolejność jest odwrotna: najpierw z zależności między wyrazami ciągu geometrycznego wyznaczamy iloraz i sumę szeregu, a potem przyrównujemy do niej sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ze .