Równoległobok w układzie współrzędnych

$logo$

Ten typ obejmuje zadania, w których z danych w układzie współrzędnych wyznaczamy brakujące wierzchołki, punkt przecięcia przekątnych, długości odcinków lub pole . Najczęściej korzystamy z : przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S$ , który jest środkiem każdej z nich. Ze otrzymujemy więc:

\begin{aligned}S&=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)\\ &=\left(\frac{x_B+x_D}{2},\frac{y_B+y_D}{2}\right)\end{aligned}

Wierzchołki równoległoboku $ABCD$ są oznaczone kolejno, więc przekątne łączą pierwszy wierzchołek z trzecim oraz drugi z czwartym. Z równości środków wynika też, że brakujący wierzchołek ma współrzędne $x_D=x_A+x_C-x_B$ i $y_D=y_A+y_C-y_B$ . Romb jest szczególnym równoległobokiem — zadania o rombie zostały zebrane w osobnym typie Romb w układzie współrzędnych.

Punkt przecięcia przekątnych i brakujący wierzchołek

W tym wariancie korzystamy z tego, że punkt $S$ przecięcia przekątnych jest środkiem każdej z nich. Znając dwa przeciwległe wierzchołki, obliczamy $S$ ze wzoru na środek odcinka. Znając $S$ i jeden koniec przekątnej, odtwarzamy drugi koniec; dla przekątnej $AC$ mamy:

\begin{aligned}x_C&=2x_S-x_A\\ y_C&=2y_S-y_A\end{aligned}

Długość przekątnej jest dwa razy większa od odległości wierzchołka od punktu $S$ , czyli $|AC|=2|AS|$ . Długości odcinków obliczamy ze .

W tym zadaniu znamy trzy wierzchołki i szukamy długości przekątnej, której drugi koniec nie jest dany — wystarczy podwoić odległość jej znanego końca od punktu przecięcia przekątnych.

Wczytywanie zadania

Tutaj znamy dwa sąsiednie wierzchołki i punkt przecięcia przekątnych, a pytanie dotyczy długości boku, więc najpierw odtwarzamy brakujący wierzchołek.

Wczytywanie zadania

Tutaj punkt przecięcia przekątnych jest nazwany środkiem symetrii równoległoboku; przekątna jest dwa razy dłuższa od odcinka łączącego dany wierzchołek z tym punktem.

Wczytywanie zadania

Pole z trzech wierzchołków

W tym wariancie znamy trzy kolejne wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ i obliczamy pole równoległoboku. Przekątna $AC$ dzieli go na dwa przystające trójkąty, więc jego pole jest dwa razy większe od pola trójkąta $ABC$ . Ze otrzymujemy:

P_{ABCD}=2P_{ABC}=|D|

Tutaj $D$ oznacza wyrażenie spod wartości bezwzględnej we wzorze na pole trójkąta:

D=(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)

Możemy też skorzystać ze $P=a\cdot h$ : podstawą jest bok $AB$ , a wysokością — odległość wierzchołka $C$ od prostej $AB$ , którą obliczamy z . Zadania, w których obliczamy pole trójkąta o danych wierzchołkach, zostały zebrane w osobnym typie Wzór na pole trójkąta.

Wczytywanie zadania

Wierzchołki z równań prostych zawierających boki

W tym wariancie znamy równania prostych zawierających dwa boki wychodzące z jednego wierzchołka oraz dodatkowy punkt, np. punkt przecięcia przekątnych albo środek boku. Wspólny wierzchołek tych boków wyznaczamy jako punkt przecięcia prostych, rozwiązując , a kolejne wierzchołki odtwarzamy ze wzoru na środek odcinka. Zadania, w których wyznaczamy punkt wspólny dwóch prostych, zostały zebrane w osobnym typie Punkt przecięcia prostych.

Proste zawierające przeciwległe boki równoległoboku są równoległe. Z proste $k\colon\ y=a_1x+b_1$ i $l\colon\ y=a_2x+b_2$ są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

k\parallel l\iff a_1=a_2

W tym zadaniu znamy punkt przecięcia przekątnych i szukamy wierzchołka $B$ : prosta $BC$ jest równoległa do $AD$ , a szukany wierzchołek leży na jej przecięciu z drugą daną prostą.

Wczytywanie zadania

Tutaj zamiast punktu przecięcia przekątnych znamy środek boku $AB$ i wierzchołek $D$ , a pytamy o odległość punktu przecięcia przekątnych od początku układu; ten punkt jest środkiem przekątnej $BD$ .