Stożek

Ten typ obejmuje zadania o . Wysokość $H$H, promień podstawy $r$r i $l$l są bokami trójkąta prostokątnego, więc z $r^2+H^2=l^2$r^2+H^2=l^2. Pole powierzchni i objętość obliczamy ze i ze :

Tutaj $P_p$P_p, $P_b$P_b i $P_c$P_c oznaczają pole podstawy, pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej.

Stożek jest : w tym wariancie powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Przyprostokątna leżąca na osi obrotu staje się wysokością stożka, druga przyprostokątna — promieniem podstawy, a przeciwprostokątna — tworzącą. Najczęstszym błędem jest zamiana ról przyprostokątnych, dlatego zawsze sprawdzamy, wokół której z nich obracamy trójkąt.

W tym zadaniu trójkąt obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej, więc to ona jest wysokością stożka, a krótsza — promieniem podstawy.

Tutaj trójkąt obracamy wokół krótszej przyprostokątnej i pytamy tylko o promień podstawy — łatwo tu pomylić role przyprostokątnych.

Tutaj długości boków trójkąta są oznaczone literami, więc objętość wyrażamy przez te litery — kluczowe jest ustalenie, która przyprostokątna jest wysokością, a która promieniem.

W tym wariancie znamy dwa wymiary stożka i obliczamy jego pole powierzchni lub objętość ze lub .

W tym zadaniu zamiast promienia dana jest średnica podstawy, więc do wzoru na objętość podstawiamy jej połowę.

Tutaj znamy wysokość i promień, a do pola powierzchni bocznej potrzebna jest tworząca, więc najpierw obliczamy ją z twierdzenia Pitagorasa.

Tutaj znamy wysokość i tworzącą, a do objętości potrzebny jest promień, więc najpierw obliczamy go z twierdzenia Pitagorasa.

W tym wariancie nie znamy wymiarów wprost, lecz zależność między nimi — ich stosunek albo różnicę. Wymiary wyrażamy przez jedną niewiadomą, np. stosunek $H:r=p:q$H:r=p:q zapisujemy jako $H=px$H=px i $r=qx$r=qx, a tworzącą wyrażamy przez tę samą niewiadomą z . Następnie z podanej objętości, pola lub długości układamy równanie z jedną niewiadomą.

W tym zadaniu dany jest stosunek wysokości do promienia oraz objętość, więc z wzoru na objętość wyznaczamy niewiadomą, a potem tworzącą i pole powierzchni bocznej.

Tutaj promień jest wyrażony przez wysokość, więc po podstawieniu do wzoru na objętość otrzymujemy wyrażenie zależne tylko od wysokości.

Tutaj znamy tworzącą i różnicę między średnicą a wysokością, więc z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ; jedno z jego rozwiązań odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia.

W tym wariancie korzystamy z stożka. Zgodnie z jest to trójkąt równoramienny o ramionach $l$l i podstawie $2r$2r, a jego wysokość jest wysokością stożka. Z długości boków przekroju odczytujemy więc tworzącą i promień.

W tym zadaniu znamy wszystkie boki przekroju osiowego, więc od razu odczytujemy tworzącą i promień, a szukamy stosunku pól.

Tutaj przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, więc tworząca jest równa średnicy podstawy, a wysokość stożka jest wysokością tego trójkąta.

W tym wariancie znamy $\gamma$\gamma, czyli kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, albo go szukamy. Wysokość stożka jest tego kąta, więc w trójkącie prostokątnym o bokach $r$r, $H$H, $l$l kąt przy wierzchołku stożka ma miarę $\displaystyle \frac{\gamma}{2}$\displaystyle \frac{\gamma}{2}:

W tym zadaniu kąt rozwarcia jest rozwarty, a jego połowa ma miarę szczególną, więc boki trójkąta obliczamy z $90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ$90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ; szukamy promienia podstawy.

Tutaj kąt rozwarcia jest ostry, a jego połowa także ma miarę szczególną; szukamy wysokości stożka.

Tutaj kąt rozwarcia jest niewiadomą, a dane są objętość i wysokość: najpierw obliczamy promień, a potem połowę kąta rozwarcia z jej tangensa.

W tym wariancie korzystamy z . Rzutem tworzącej na płaszczyznę podstawy jest promień, więc na rysunku jest to kąt $\alpha$\alpha między tworzącą $l$l a promieniem $r$r.

Kąt nachylenia tworzącej i połowa kąta rozwarcia dają razem $90^\circ$90^\circ.

W tym zadaniu kąt nachylenia tworzącej ma miarę szczególną, więc trójkąt prostokątny o bokach $r$r, $H$H, $l$l jest równoramienny.

Tutaj zamiast miary kąta dany jest jego tangens, więc wysokość wyrażamy przez promień i podstawiamy do wzoru na objętość.

W tym wariancie znamy stosunek albo różnicę pola powierzchni bocznej $P_b=\pi r l$P_b=\pi r l i pola podstawy $P_p=\pi r^2$P_p=\pi r^2, wynikających ze . Po skróceniu przez $\pi r$\pi r stosunek pól staje się stosunkiem tworzącej do promienia:

W tym zadaniu dany jest tylko stosunek pól, więc wyznaczamy z niego zależność między promieniem a tworzącą.

Tutaj oprócz stosunku pól znamy wysokość stożka, więc promień i tworzącą wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa, a potem obliczamy objętość.

Tutaj pola różnią się o daną wartość, a tworząca jest o daną liczbę dłuższa od promienia, więc otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą — promieniem.

W tym wariancie powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest o promieniu równym tworzącej $l$l. Łuk tego wycinka ma długość równą obwodowi podstawy stożka, więc ze i :

gdzie $\varphi$\varphi jest kątem środkowym wycinka. Z tej równości wyznaczamy promień podstawy albo kąt wycinka. Zadania o łukach i wycinkach koła zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu znamy promień i kąt środkowy wycinka, więc z równości długości łuku i obwodu podstawy wyznaczamy promień podstawy, a potem wysokość i objętość stożka.

Tutaj znamy promień podstawy i tworzącą, a szukamy kąta środkowego wycinka.

W tym wariancie stożek występuje razem z inną bryłą: porównujemy go z walcem o tej samej podstawie lub wysokości albo łączymy dwa stożki o wspólnej podstawie. Zapisujemy wzory dla obu brył — dla walca np. $V=\pi r^2H$V=\pi r^2H — korzystając ze wspólnych wymiarów, a następnie porównujemy lub sumujemy pola albo objętości.

Zadania o samym walcu zostały zebrane w osobnym typie , a zadania, w których stożek porównujemy z kulą — w typie .

W tym zadaniu stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych, więc porównujemy wyrażenia $\pi r l$\pi r l i $2\pi r H$2\pi r H.

Tutaj stożek i walec mają równe wysokości, a ich promienie są w danym stosunku, więc w stosunku objętości wysokość się skraca.

Tutaj bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie, więc ich objętości są w takim samym stosunku jak ich wysokości.