Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)

Ten typ obejmuje zadania, których rozwiązanie wymaga zastosowania - oraz .

Podstawowy przykład zastosowania - znając wartość jednej z funkcji sinus lub cosinus dla danego kąta, wyznaczamy wartość drugiej z tych funkcji dla tego samego kąta.

W tym przykładzie rozważany kąt jest , zatem znak otrzymanej wartości funkcji trygonometrycznej (czyli znak pierwiastka z ) uzasadniamy korzystając z - jeżeli szukamy wartości sinusa to znak będzie dodatni, a jeśli cosinusa, to ujemny.

W tym przykładzie dochodzi zastosowanie :

Analogiczny wariant co wyżej z tą różnicą, że tutaj celem jest obliczenie wartości wyrażenia zawierającego różne funkcje trygonometryczne.

W prostszych przykładach nie ma potrzeby obliczania wartości wszystkich pozostałych funkcji. Wystarczy zastosować , aby sprowadzić wyrażenie do postaci zawierającej wyłącznie tę funkcję trygonometryczną, której wartość jest nam dana.

Podobny przykład, tym razem ze :

Nieco bardziej rozbudowany przykład, w którym pojawia się ułamek z funkcjami sinus i cosinus. Jednym z wygodnych sposobów rozwiązania jest podzielenie licznika i mianownika przez $\cos\alpha$\cos\alpha. Pozwala to sprowadzić całe wyrażenie do postaci zawierającej jedynie $\tg\alpha$\tg\alpha, dzięki czemu możemy od razu wykorzystać podaną w zadaniu wartość tangensa.

Teraz przykład wymagający zastosowania obu tożsamości:

Ten przykład z kolei wymaga wcześniejszego policzenia wartości $\sin\alpha\cos\alpha$\sin\alpha\cos\alpha, podnosząc daną równość do kwadratu.

Podobny przykład, tym razem z czwartą potęgą:

W tym przykładzie nie musimy nic liczyć, a jedynie przekształcić wyrażenie do postaci równoważnej korzystając z .

W niektórych zadaniach dochodzi zastosowanie :

W tym przykładzie przed zastosowaniem musimy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Ten przykład zawiera prostą równość, z której za pomocą wyznaczamy wartość jednej z funkcji trygonometrycznych.

Prosty przykład z równaniem z sinusem / cosinusem:

Przykład z tangensem w równaniu:

Kolejny przykład, tym razem z ułamkami:

W tym wariancie znamy wartość iloczynu $\sin\alpha\cos\alpha$\sin\alpha\cos\alpha, a naszym celem jest obliczenie wartości wyrażenia zawierającego $\sin\alpha$\sin\alpha i $\cos\alpha$\cos\alpha. Rozwiązanie zazwyczaj sprowadza się do zastosowania , zastąpienia wyrażenia $\sin\alpha\cos\alpha$\sin\alpha\cos\alpha znaną wartością oraz skorzystania z dla wyrażeń z kwadratem.

W tym wariancie znamy wartość wyrażenia zawierającego funkcje trygonometryczne, a celem jest wyznaczenie wartości iloczynu $\sin\alpha\cos\alpha$\sin\alpha\cos\alpha. Podobnie jak w poprzednim wariancie, zadanie z reguły sprowadza się do zastosowania lub sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika, dzięki czemu pojawiające się wyrażenia z kwadratem można uprościć korzystając z .

Zacznijmy od prostego przykładu z sumą / różnicą sinusa i cosinusa:

Inny przykład, tym razem pojawiają się ułamki:

Podobny przykład co wyżej z tą różnicą, że tutaj dochodzi konieczność analizy znaku wyrażenia $\sin\alpha\cos\alpha$\sin\alpha\cos\alpha - robimy to powołując się na .

Kolejny przykład, tym razem z tangensem:

W tym wariancie musimy ustalić czy istnieje kąt o podanych wartościach funkcji trygonometrycznych. Rozwiązanie sprowadza się do sprawdzenia, czy wskazane wartości spełniają .

W tym przykładzie musimy uzasadnić zadaną równość. Rozwiązanie polega na wyjściu od tej bardziej rozbudowanej strony równania i korzystając z oraz - dojść do drugiej strony równania.