Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)

Ten typ obejmuje zadania z , w których na podstawie wykresu funkcji lub informacji o niej należy wyznaczyć jej wzór bądź brakujące współczynniki.

W tym wariancie wzór funkcji wyznaczamy na podstawie informacji o wierzchołku paraboli oraz o jednym punkcie leżącym na jej wykresie. Najpierw, korzystając ze współrzędnych wierzchołka, zapisujemy funkcję kwadratową w , a następnie podstawiamy do tego wzoru współrzędne danego punktu, aby obliczyć brakujący współczynnik $a$a.

W tym wariancie współrzędne wierzchołka nie są podane jawnie, lecz wynikają z - punkt, w którym funkcja kwadratowa przyjmuje wartość najmniejszą / największą to właśnie wierzchołek paraboli.

W tym wariancie informację o wierzchołku oraz punkt na wykresie odczytujemy z wykresu funkcji.

W tym wariancie zadanie polega na identyfikacji wzoru funkcji kwadratowej na podstawie współrzędnych wierzchołka paraboli oraz informacja o kierunku ramion (znaku współczynniku przy $x^2$x^2).

W tym wariancie znamy oś symetrii paraboli, punkt na wykresie oraz wartość współczynnika $a$a, a celem jest wyznaczenie wartości współczynników $b$b i $c$c.

Rozwiązanie polega na zapisaniu funkcji kwadratowej w :

gdzie $x=p$x=p jest równanie osi symetrii (zgodnie z ), a następnie na podstawieniu do tego wzoru współrzędnych znanego punktu w celu wyznaczenia wartości $q$q. Po obliczeniu $q$q przekształcamy postać kanoniczną do postaci ogólnej, z której odczytujemy współczynniki $b$b i $c$c.

W tym wariancie znamy największą / najmniejszą wartość funkcji kwadratowej oraz dwa punkty, w których funkcja przyjmuje tę samą wartość, a celem jest wyznaczenie współczynników $a,b$a,b i $c$c.
Z własności wykresu funkcji kwadratowej wnioskujemy, że współrzędna $y$y-owa wierzchołka paraboli jest równa danej największej / najmniejszej wartości funkcji. Współrzędną $x$x-ową wierzchołka obliczamy, korzystając z – jest ona średnią arytmetyczną argumentów tych dwóch punktów o jednakowej wartości funkcji. Następnie zapisujemy funkcję w i podstawiając współrzędne jednego z danych punktów, wyznaczamy współczynnik $a$a. Współczynniki $b$b i $c$c wyznaczamy przekształcając postać kanoniczną do postaci ogólnej.

W tym przykładzie punkty przyjmujące tą samą wartość są dane jawnie, a zadanie ogranicza się do wyznaczenia współczynnika $a$a.

W tym przykładzie punkty przyjmujące tą samą wartość wynikają z rozwiązania nierówności oraz dodatkowo dochodzi konieczność wyznaczenia współczynników $b$b i $c$c.

W tym wariancie znamy jedno z miejsc zerowych, oś symetrii paraboli oraz wartość współczynnika $a$a, a celem jest wyznaczenie wartości współczynników $b$b i $c$c.

Współczynnik $b$b wyznaczamy korzystając z , a $c$c - podstawiając do wzoru funkcji znane miejsce zerowe.

W tym wariancie znamy jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej i wiemy, że jest to jej jedyny pierwiastek, a dodatkowo znamy punkt leżący na wykresie funkcji. Rozwiązanie polega na zapisaniu funkcji kwadratowej w z podwójnym pierwiastkiem, czyli

a następnie wyznaczeniu współczynnika $a$a poprzez podstawienie współrzędnych znanego punktu z wykresu.

W tym przykładzie istnienie dokładnie jednego miejsca zerowego funkcji wynika z jej punktów przecięcia się z osiami układu współrzędnych.

W tym wariancie znamy współczynnik $a$a w postaci ogólnej funkcji kwadratowej oraz współrzędne jej wierzchołka, a celem jest wyznaczenie .