Równoległobok

Ten typ obejmuje zadania o , czyli czworokącie o dwóch parach boków równoległych. Z kąty przeciwległe mają równe miary, a kąty przy jednym boku dają razem $180^\circ$180^\circ; gdy dany jest kąt rozwarty $\beta$\beta, kąt ostry ma miarę $180^\circ-\beta$180^\circ-\beta. Z przekątne dzielą się na połowy. Pole równoległoboku obliczamy z trzech wzorów:

Tutaj $a$a i $b$b są długościami boków, $h_a$h_a i $h_b$h_b — wysokościami opuszczonymi na te boki, $\alpha$\alpha — kątem ostrym równoległoboku, $d_1$d_1 i $d_2$d_2 — długościami przekątnych, a $\gamma$\gamma — kątem między przekątnymi. Są to kolejno , i .

Zadania o równoległoboku w układzie współrzędnych zostały zebrane w osobnym typie , a zadania o rombie, czyli równoległoboku o równych bokach — w typie .

W tym wariancie wyznaczamy miary kątów równoległoboku z zależności między nimi. Kąty $\alpha$\alpha i $\beta$\beta leżące przy jednym boku spełniają warunek $\alpha+\beta=180^\circ$\alpha+\beta=180^\circ, więc razem z informacją z treści, np. o różnicy miar sąsiednich kątów, tworzą :

Tutaj $\delta$\delta jest daną różnicą miar. Dodając równania stronami, otrzymujemy $2\beta=180^\circ+\delta$2\beta=180^\circ+\delta.

W tym wariancie znamy dwa sąsiednie boki $a$a, $b$b i kąt między nimi albo pole, jeden bok i kąt. Korzystamy ze :

Możemy też obliczyć wysokość z trójkąta prostokątnego, który odcina ona od równoległoboku, i pomnożyć ją przez bok, na który ją opuszczono: $h_a=b\sin\alpha$h_a=b\sin\alpha. Dla kątów $30^\circ$30^\circ, $45^\circ$45^\circ i $60^\circ$60^\circ wysokość wyznaczamy z lub z .

W tym zadaniu znamy długości boków i kąt ostry równoległoboku, więc od razu podstawiamy je do wzoru.

Tutaj kąt między danymi bokami jest rozwarty, więc do wzoru podstawiamy kąt ostry, który dopełnia go do $180^\circ$180^\circ.

Tutaj znamy pole, jeden bok i kąt rozwarty, więc po wyznaczeniu kąta ostrego ze wzoru obliczamy długość drugiego boku.

W tym wariancie znamy długości przekątnych $d_1$d_1, $d_2$d_2 i kąt $\gamma$\gamma między nimi, więc korzystamy ze :

Wzór ten wynika z podziału równoległoboku przekątnymi na cztery trójkąty o bokach $\displaystyle \frac{d_1}{2}$\displaystyle \frac{d_1}{2} i $\displaystyle \frac{d_2}{2}$\displaystyle \frac{d_2}{2}, których pola obliczamy ze ; kąty $\gamma$\gamma i $180^\circ-\gamma$180^\circ-\gamma mają równe sinusy. Zadania o prostokącie, w których korzystamy z kąta między przekątnymi, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie korzystamy ze :

Pole jest iloczynem boku i wysokości opuszczonej na ten bok, więc z równości dwóch takich iloczynów wynika, że wysokości są odwrotnie proporcjonalne do boków.

W tym zadaniu równoległobok leży wewnątrz prostokąta o znanym polu, a jego bok leży na boku prostokąta, więc wysokością równoległoboku jest drugi bok prostokąta.

Tutaj znamy obwód równoległoboku i stosunek jego wysokości, więc ze stosunku wysokości otrzymujemy stosunek boków, a z obwodu — ich długości.

W tym wariancie wewnątrz równoległoboku leżą odcinki równoległe do jego przekątnych. Odcinek równoległy do przekątnej odcina od równoległoboku trójkąt o tych samych kątach co trójkąt odcięty przez przekątną — wynika to z . Z te trójkąty są podobne, więc stosunek odcinka do przekątnej jest równy stosunkowi odpowiednich części boku:

Tutaj odcinek $EF$EF jest równoległy do przekątnej $BD$BD, a punkt $E$E leży na boku $AD$AD. Zapisując takie proporcje dla obu przekątnych i dodając je stronami, wyznaczamy szukaną długość. Zadania o trójkątach podobnych zostały zebrane w osobnym typie .