Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych

Ten typ obejmuje zadania, w których wyznaczamy brakujący wierzchołek lub oś symetrii w układzie współrzędnych, a czasem także jego obwód lub pole. Korzystamy z równości ramion oraz z : wysokość opuszczona na podstawę jest do niej prostopadła, dzieli ją na połowy i zawiera się w osi symetrii trójkąta.

Zadania o dowolnych trójkątach w układzie współrzędnych, np. o spodkach wysokości i środkowych, zostały zebrane w typie .

W tym wariancie znamy dwa wierzchołki trójkąta oraz prostą, na której leży trzeci. Szukany punkt zapisujemy za pomocą jednej niewiadomej, np. $C=(x,\,ax+b)$C=(x,\,ax+b) dla prostej $y=ax+b$y=ax+b, i porównujemy długości ramion obliczone ze . Wygodniej porównywać kwadraty długości, bo wtedy znikają pierwiastki:

Tutaj $AC$AC i $BC$BC są ramionami, a $C$C — wierzchołkiem między nimi.

W tym zadaniu szukany wierzchołek między ramionami leży na osi $OY$OY, więc ma postać $(0,y)$(0,y). Kwadraty niewiadomej po obu stronach się redukują i otrzymujemy ; na końcu obliczamy obwód trójkąta.

Tutaj szukamy końca podstawy leżącego na danej prostej, więc otrzymujemy . Jedno z jego rozwiązań odpowiada znanemu już wierzchołkowi, więc je odrzucamy.

W tym wariancie korzystamy z tego, że wierzchołek między ramionami jest równo oddalony od końców podstawy. Z leży więc na podstawy:

Tutaj $s_{AB}$s_{AB} oznacza symetralną podstawy $AB$AB. Z ta symetralna jest osią symetrii trójkąta i przechodzi przez środek podstawy $\displaystyle S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$\displaystyle S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right). Zadania o symetralnej odcinka zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu treść nie mówi, które boki są ramionami, więc najpierw porównujemy długości boków. Oś symetrii to prosta przechodząca przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy.

Tutaj wierzchołek między ramionami leży na danej prostej, więc wyznaczamy go jako punkt przecięcia tej prostej z symetralną podstawy; równie dobrze możemy porównać długości ramion.

W tym wariancie korzystamy z tego, że wysokość opuszczona na podstawę jest do niej prostopadła, a jej spodek $S$S jest środkiem podstawy $AB$AB. Gdy znamy ten punkt i jeden koniec podstawy, drugi koniec wyznaczamy, przekształcając :

Prostą zawierającą podstawę albo wysokość wyznaczamy z : iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy $-1$-1.

W tym zadaniu spodek wysokości jest dany, więc brakujący koniec podstawy otrzymujemy bezpośrednio z przekształconego wzoru na środek odcinka.

Tutaj spodek wysokości nie jest dany: prostą zawierającą wysokość wyznaczamy z warunku prostopadłości, a spodek jest jej punktem przecięcia z podstawą. Na końcu z długości podstawy i wysokości obliczamy pole ze .

Tutaj ramionami są boki wychodzące z wierzchołka $A$A, a zamiast prostej zawierającej podstawę znamy prostą zawierającą wysokość. Z warunku prostopadłości wyznaczamy prostą zawierającą podstawę, a brakujący wierzchołek — z równości ramion.