Trójkąt w układzie współrzędnych

Ten typ obejmuje zadania o dowolnym w układzie współrzędnych: wyznaczamy spodki wysokości, równania środkowych i symetralnych boków, wierzchołki leżące na danych prostych oraz pola trójkątów. Boki trójkąta zawierają się w prostych, dlatego najczęściej korzystamy ze :

Wzór opisuje prostą $AB$AB, gdy $x_A\neq x_B$x_A\neq x_B; ułamek $\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} jest jej współczynnikiem kierunkowym. Gdy $x_A=x_B$x_A=x_B, prosta jest pionowa i ma równanie $x=x_A$x=x_A.

Zadania o trójkątach równoramiennych zostały zebrane w osobnym typie , zadania o trójkątach równobocznych — w typie , a zadania o trójkątach prostokątnych — w typie . Zadania na samo pole trójkąta o danych wierzchołkach zostały zebrane w typie .

W tym wariancie szukamy spodka poprowadzonej z wierzchołka $C$C, czyli punktu $D$D, w którym prosta prostopadła do $AB$AB przechodząca przez $C$C przecina prostą $AB$AB. Wyznaczamy równanie prostej $AB$AB, a potem prostej $CD$CD, korzystając z :

Tutaj $a_{AB}$a_{AB} i $a_{CD}$a_{CD} oznaczają współczynniki kierunkowe obu prostych. Spodek wysokości jest ich punktem wspólnym, więc rozwiązujemy układ ich równań.

W tym zadaniu po wyznaczeniu spodka wysokości obliczamy jeszcze ze wzoru na długość odcinka jego odległość od jednego z wierzchołków.

Tutaj przez spodek wysokości prowadzimy prostą równoległą do innego boku. Z ma ona taki sam współczynnik kierunkowy jak ten bok.

Tutaj wierzchołek, z którego prowadzimy wysokość, nie jest dany. Znamy środek sąsiedniego boku i jego drugi koniec, więc wierzchołek odtwarzamy najpierw ze .

W tym wariancie szukamy równania trójkąta, czyli prostej przechodzącej przez wierzchołek i środek przeciwległego boku. Środek $S$S boku $AC$AC obliczamy ze :

Następnie wyznaczamy prostą $BS$BS przechodzącą przez dwa znane punkty.

W tym zadaniu środkowa wychodzi z wierzchołka leżącego w początku układu współrzędnych, więc jej równanie ma postać $y=ax$y=ax, a współczynnik $a$a wyznaczamy z jednego punktu.

W tym wariancie korzystamy z jednego z boków trójkąta, czyli prostej prostopadłej do boku i przechodzącej przez jego środek. Dla boku $AB$AB o współczynniku kierunkowym $a_{AB}\neq 0$a_{AB}\neq 0 symetralna przechodzi przez środek $S$S tego boku i ma współczynnik kierunkowy $a_s$a_s:

Następnie szukamy punktu przecięcia symetralnej z prostą zawierającą inny bok albo z osią układu. Zadania o symetralnej odcinka zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu szukamy punktu, w którym symetralna jednego boku przecina prostą zawierającą inny bok, więc rozwiązujemy układ równań tych dwóch prostych.

Tutaj symetralna boku i prosta zawierająca ten bok przecinają oś $OX$OX. Otrzymane punkty wraz z wierzchołkiem tworzą trójkąt, którego pole obliczamy z podstawy leżącej na osi.

W tym wariancie wierzchołki trójkąta są punktami przecięcia danych prostych z osiami układu. Punkt przecięcia prostej z osią $OX$OX ma postać $(x,0)$(x,0), a z osią $OY$OY — postać $(0,y)$(0,y), więc do równania prostej podstawiamy $y=0$y=0 albo $x=0$x=0. Bok leżący na osi przyjmujemy za podstawę, a wysokość jest odległością trzeciego wierzchołka od tej osi. Pole obliczamy ze :

Dla podstawy na osi $OX$OX o końcach $(x_1,0)$(x_1,0) i $(x_2,0)$(x_2,0) mamy $a=|x_2-x_1|$a=|x_2-x_1|, a $h$h jest wartością bezwzględną drugiej współrzędnej trzeciego wierzchołka.

W tym zadaniu jedna z prostych ma nieznany wyraz wolny, ale proste przecinają się na osi $OY$OY, więc obie mają ten sam wyraz wolny.

Tutaj trzeci wierzchołek nie leży na osi — jest punktem przecięcia dwóch prostych, więc wyznaczamy go z układu ich równań, a wysokością jest jego druga współrzędna.

Tutaj zamiast równań prostych znamy pola trójkątów, które proste wyznaczają z dodatnimi półosiami. Szukany trójkąt jest różnicą dwóch takich trójkątów, więc jego pole jest różnicą ich pól.

W tym wariancie pole trójkąta jest dane, a jeden z wierzchołków leży na osi i trzeba go wyznaczyć. Wysokość opuszczoną na tę oś znamy, więc ze obliczamy długość podstawy leżącej na osi:

Szukany wierzchołek leży na osi w odległości $a$a od znanego końca podstawy — po jednej albo po drugiej jego stronie — dlatego zwykle otrzymujemy dwa takie punkty.

W tym wariancie dwa boki trójkąta są równoległe do różnych osi układu, więc są prostopadłe, a trójkąt jest prostokątny. Długości przyprostokątnych są różnicami współrzędnych wierzchołków, a miarę kąta ostrego wyznaczamy z wartości :

Tutaj $a$a jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\alpha$\alpha, a $b$b — przyprostokątną leżącą przy tym kącie.