Własności granic niewłaściwych

Niech dane będą funkcje $f$f i $g$g określone w pewnym sąsiedztwie $S(x_0,\varepsilon)$S(x_0,\varepsilon) punktu $x_0$x_0 oraz niech $\lim_{x\to x_0}f(x)=c\in\mathbb{R}$\lim_{x\to x_0}f(x)=c\in\mathbb{R} i $\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty. Wówczas:

• $\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\pm\infty$\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\pm\infty

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\mp\infty$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left[f(x)-g(x)\right]=\mp\infty

• jeżeli $c>0$c>0 to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\pm\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\pm\infty

• jeżeli $c<0$c<0 to $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\mp\infty$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\mp\infty

Powyższe własności są również prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w plus/minus nieskończoności.